काँच की दो चकतियों को बेतरतीब रगड़िए, और मिलेगा एकदम सही गोला

कोई भी हाथ से दूरबीन का दर्पण बना सकता है। काँच की एक चकती, यानी “टूल” (tool), को मेज़ पर स्थिर कर दिया जाता है, उस पर दूसरी चकती, यानी भविष्य का दर्पण, रखी जाती है, दोनों के बीच अपघर्षक दाने (abrasive grit) डाले जाते हैं, और ऊपर वाली चकती को छोटे-छोटे स्ट्रोक में आगे-पीछे धकेला जाता है। मेज़ के चारों ओर धीरे-धीरे चक्कर लगाते हुए दर्पण को भी घुमाते जाना होता है, ताकि हर दिशा को उसका हिस्सा मिले। हर स्ट्रोक पिछले से थोड़ा अलग होता है। फिर उससे बारीक दानों पर जाया जाता है, फिर उससे भी बारीक पर, और यह सिलसिला चलता रहता है।

नतीजा चकित कर देने वाला है: दोनों सतहें अपने-आप एक-दूसरे से पूरी तरह मेल खाते गोलों की ओर बढ़ती जाती हैं, जिनकी सटीकता कुछ दसियों नैनोमीटर तक होती है। नियम-पुस्तिकाएँ (manuals) इस नुस्ख़े का विस्तार से वर्णन करती हैं। SLAC National Accelerator Laboratory और Stanford University के Kavli Institute for Particle Astrophysics and Cosmology के इमानुएल शान (Emmanuel Schaan) के अनुसार, वे जो नहीं देतीं, वह है मूल सिद्धांतों (first principles) से निकली इस बात की भौतिक व्याख्या कि शुरुआती सतह कैसी भी हो, वह अंत में गोलीय क्यों हो जाती है।

घिसाव का एक नियम

शान का आरंभ-बिंदु प्रेस्टन का नियम (Preston’s law) है, जो 1927 में प्लेट ग्लास की पॉलिशिंग के लिए प्रकाशित हुआ था: हर बिंदु पर, पदार्थ उस दर से घिसता है जो स्थानीय दाब के और उस गति के समानुपाती होती है जिससे सतहें एक-दूसरे पर फिसलती हैं। इसमें एक सरल संपर्क मॉडल जोड़ दीजिए — एक सतह दूसरी के सापेक्ष जितनी ज़्यादा उभरी होती है, उस पर उतना ज़्यादा दाब पड़ता है — और सब कुछ एक ही समीकरण से निकल आता है।

पहला परिणाम केवल सममिति (symmetry) से आता है। सतहों का कोई जोड़ा तभी बदलना बंद करता है जब दोनों एक जैसी हों और स्ट्रोक की हर गति के बाद वैसी ही दिखें। दो दिशाओं में फिसलने वाले स्ट्रोक केवल समतल छोड़ते हैं; दो अलग-अलग अक्षों के चारों ओर घूमने वाले स्ट्रोक केवल गोले छोड़ते हैं। चूँकि हाथ से घिसे जाने वाले दर्पण को हर दिशा में धकेला और घुमाया जाता है, इसलिए समतल और गोले ही संभावित अंतिम अवस्थाएँ हैं। यह किसी भी ऐसे दाब-नियम के लिए सही है जिसमें, जहाँ सतहें मेल खाती हैं, वहाँ दाब शून्य हो जाता है।

तीन घड़ियाँ

कोई सतह सचमुच इन अंतिम अवस्थाओं तक पहुँचती है या नहीं, यह इस पर निर्भर करता है कि अलग-अलग दोष कितनी तेज़ी से मिटते हैं।

स्ट्रोक से छोटे उभार औसत होकर मिट जाते हैं। वे T_grind नामक एक समय में चरघातांकी रूप से (exponentially) घटते हैं — व्यवहार में दसियों मिनट से एक घंटे तक।
दोनों चकतियों के बीच का बेमेल दुगुनी तेज़ी से मिटता है, क्योंकि दोनों सतहें एक साथ घिसती हैं।
स्ट्रोक से बड़े विचलन सीधे-सीधे नहीं घटते: स्ट्रोक जिस क्षेत्र को ढकता है, उस पर औसत लेने से समीकरण एक विसरण समीकरण (diffusion equation) बन जाता है — उस तरह का समीकरण जो बताता है कि कोई चीज़ समय के साथ कैसे फैलती और बराबर होती जाती है। बड़े विचलन धीरे-धीरे फैलते और समतल होते हैं। सबसे आख़िर में मिटने वाला विचलन पूरे दर्पण पर फैला होता है, और वही गोला बनने का समय तय करता है:

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

क्लासिक “नॉर्मल” स्ट्रोक (normal stroke) के लिए, जिसकी पूरी यात्रा दर्पण के व्यास की एक-तिहाई होती है, यह लगभग T_grind का 30 गुना है — लगभग दस घंटे।

समतल क्यों हारता है

गुरुत्व दोनों चकतियों के बीच की सममिति तोड़ देता है। जब भी ऊपर वाली चकती नीचे वाली से बाहर निकली होती है, दाब का पुनर्वितरण हो जाता है: ऊपर वाली चकती अपने केंद्र पर ज़्यादा घिसती है, नीचे वाली अपने किनारों पर। ऊपर वाली बीच से गहरी होती जाती है, नीचे वाली उभरती जाती है, इसलिए समतल अस्थिर हैं। गोले तब तक टिके रहते हैं जब तक वे गुरुत्व द्वारा विकृत किए जाने से तेज़ी से बनते हैं, और पर्याप्त छोटे स्ट्रोक के लिए ऐसा ही होता है: तब दोनों सतहें मेल खाते गोले बनी रहती हैं, जिनकी वक्रता धीरे-धीरे बढ़ती है। लंबे स्ट्रोक यह क्रम उलट देते हैं, और ठीक इसीलिए दर्पण बनाने में केंद्र को खोदने के लिए एक लंबे “कॉर्डल” स्ट्रोक (chordal stroke) से शुरुआत की जाती है, फिर उसे गोलीय बनाने के लिए नॉर्मल स्ट्रोक पर आया जाता है।

एक दर्पण की लॉगबुक

इन परिमाण-क्रमों (orders of magnitude) की जाँच शान के अपने 25 सेंटीमीटर के दर्पण की लॉगबुक से की गई है, जिसे हाथ से लगभग 50 घंटों में घिसा गया था। दो हाथों से 1 से 2 किलोपास्कल का दाब डालने और 0.1 से 0.3 मीटर प्रति सेकंड की फिसलन-गति पर, सबसे मोटे दाने प्रति मिनट कुछ माइक्रोमीटर पदार्थ हटाते हैं। केंद्र में 3 मिलीमीटर का गड्ढा खोदने में लगभग 10 घंटे लगने चाहिए: लॉगबुक में 11 घंटे 50 मिनट दर्ज हैं। उसे गोलीय बनाने में लगभग 30 × T_grind लगना चाहिए, यानी फिर से लगभग 10 घंटे: लॉगबुक में 12 घंटे 50 मिनट दर्ज हैं। मॉडल यह भी समझाता है कि बारीक दानों का हर चरण लगभग बराबर समय, 2 घंटे 15 मिनट से 5 घंटे 25 मिनट के बीच, क्यों चला: बारीक दाने पदार्थ धीरे हटाते हैं, लेकिन उन्हें हटाने के लिए क्षति की परत भी कम गहरी होती है, और दोनों प्रभाव एक-दूसरे को काट देते हैं।

कंकड़ और रेगमाल

वही समीकरण रोज़मर्रा के दो मामलों पर भी लागू होते हैं। रॉक टम्बलर (rock tumbler) में, लगभग 1 सेंटीमीटर के कंकड़ लगभग 1 मिलीमीटर के विस्थापनों में एक-दूसरे पर रगड़ खाते हैं। छोटे उभार कुछ हफ़्तों में मिट जाते हैं, इसलिए पत्थर चमकदार हो जाते हैं; लेकिन लगभग 100 का गुणक (R_rock/R_stroke)² गोला बनने के समय को बरसों तक खींच देता है। घूर्णी टम्बलर (rotary tumblers), जिनमें फिसलन-संपर्क लंबे होते हैं, कंपन वाले टम्बलरों (vibratory tumblers) की तुलना में किनारों को ज़्यादा गोल करते हैं। किसी छोटी सपाट वस्तु को रेगमाल से घिसना दूसरा छोर है: स्ट्रोक वस्तु से लंबा होता है, विकृति तुरंत होती है, और किनारे हमेशा गोल हो जाते हैं।

मॉडल घर्षण, असली हाथों के असमान दाब, और अंतिम पॉलिशिंग में इस्तेमाल होने वाले नरम पिच टूल (pitch tool) को छोड़ देता है, और उसकी जाँचें किसी समर्पित प्रयोग के बजाय परिमाण-क्रम के स्तर की हैं। American Journal of Physics में सशर्त रूप से स्वीकृत यह शोधपत्र कक्षा के एक उदाहरण के रूप में प्रस्तुत किया गया है: स्थिर और अस्थिर संतुलन, चरघातांकी क्षय और विसरण, सब कुछ काँच के दो टुकड़ों को आपस में रगड़ने से।