FROTA DOS DISCOS DE VIDRIO AL AZAR Y OBTENDRÁS UNA ESFERA PERFECTA

Cualquiera puede fabricar a mano el espejo de un telescopio. Se fija a una mesa un disco de vidrio, la «herramienta», se coloca encima un segundo disco, el futuro espejo, se pone grano abrasivo entre ambos y se empuja el disco de arriba adelante y atrás en pasadas cortas. Se camina despacio alrededor de la mesa y se va girando el espejo, para que cada dirección reciba su parte. Cada pasada es un poco distinta de la anterior. Después se cambia a un abrasivo más fino, y otra vez, y otra más.

El resultado es asombroso: las dos superficies convergen por sí solas hacia esferas que encajan a la perfección, precisas hasta unas pocas decenas de nanómetros. Los manuales describen la receta con detalle. Lo que no ofrecen, según Emmanuel Schaan, del SLAC National Accelerator Laboratory y del Instituto Kavli de Astrofísica de Partículas y Cosmología de la Universidad de Stanford, es una explicación física a partir de primeros principios de por qué cualquier superficie de partida acaba siendo esférica.

Una sola ley del desgaste

Schaan parte de la ley de Preston, publicada en 1927 para el pulido de lunas de vidrio: en cada punto, el material se desgasta a un ritmo proporcional a la presión local y a la velocidad con la que las superficies se deslizan una sobre otra. Si se añade un modelo de contacto sencillo (cuanto más sobresale una superficie respecto de la otra, con más fuerza se aprieta), todo se deduce de una sola ecuación.

La primera consecuencia se debe solo a la simetría. Un par de superficies deja de cambiar únicamente si las dos son idénticas y se ven igual después de cada movimiento de la pasada. Las pasadas que deslizan en dos direcciones solo dejan planos; las que giran alrededor de dos ejes distintos solo dejan esferas. Como un espejo tallado a mano se empuja y se gira en todas direcciones, los planos y las esferas son los únicos puntos de llegada posibles. Esto vale para cualquier ley de presión en la que la presión se anule allí donde las superficies coinciden.

Tres relojes

Que una superficie llegue de verdad a esos puntos de llegada depende de lo rápido que desaparezcan los distintos defectos.

• Los bultos más pequeños que la pasada se promedian hasta desaparecer. Se reducen de forma exponencial en un tiempo llamado T_grind, de decenas de minutos a una hora en la práctica.
• El desajuste entre los dos discos se borra el doble de rápido, porque las dos superficies se desgastan a la vez.
• Las desviaciones más grandes que la pasada no se limitan a reducirse: al promediar sobre la superficie que cubre la pasada, la ecuación se convierte en una ecuación de difusión, del tipo que describe algo que se extiende y se nivela con el tiempo. Las grandes desviaciones se extienden y se aplanan despacio. La última en desaparecer abarca todo el espejo, y es la que fija el tiempo necesario para convertirse en esfera:

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

Para la clásica pasada «normal», cuyo recorrido completo es un tercio del diámetro del espejo, eso equivale a unas 30 veces T_grind, es decir, unas diez horas.

Por qué pierde el plano

La gravedad rompe la simetría entre los dos discos. Cada vez que el disco de arriba sobresale del de abajo, la presión se redistribuye: el disco de arriba se desgasta más en el centro, y el de abajo, en los bordes. El de arriba se ahueca y el de abajo se abomba, así que los planos son inestables. Las esferas sobreviven mientras se formen más deprisa de lo que la gravedad las deforma, lo que ocurre con pasadas lo bastante cortas: las dos superficies siguen siendo entonces esferas que encajan entre sí, con una curvatura que aumenta poco a poco. Las pasadas largas invierten el orden, y precisamente por eso quienes fabrican espejos empiezan con una pasada larga «en cuerda» (chordal stroke) para excavar el centro y luego pasan a la pasada normal para volverlo esférico.

El cuaderno de un espejo

Los órdenes de magnitud se comparan con el cuaderno de trabajo del espejo de 25 centímetros del propio Schaan, tallado a mano en unas 50 horas. Con dos manos que aprietan a entre 1 y 2 kilopascales y deslizan a entre 0,1 y 0,3 metros por segundo, el abrasivo más grueso elimina unos pocos micrómetros por minuto. Excavar el hueco de 3 milímetros en el centro debería llevar unas 10 horas: el cuaderno dice 11 h 50. Volverlo esférico debería llevar unas 30 × T_grind, de nuevo unas 10 horas: el cuaderno dice 12 h 50. El modelo explica incluso por qué cada etapa de abrasivo fino duró más o menos lo mismo, entre 2 h 15 y 5 h 25: el abrasivo más fino elimina material más despacio, pero también tiene que eliminar una capa de daño menos profunda, y los dos efectos se compensan.

Guijarros y papel de lija

Las mismas ecuaciones abarcan dos casos cotidianos. En una pulidora de piedras de tambor, los guijarros, de alrededor de 1 centímetro de diámetro, se frotan con desplazamientos de alrededor de 1 milímetro. Los pequeños bultos desaparecen en semanas, así que las piedras se vuelven brillantes; pero el factor (R_rock/R_stroke)², de alrededor de 100, alarga hasta años el tiempo necesario para convertirse en esferas. Las pulidoras rotatorias, con contactos deslizantes más largos, redondean los bordes más que las vibratorias. Lijar un objeto plano pequeño es el extremo opuesto: la pasada es más larga que el objeto, la deformación es inmediata y los bordes siempre se redondean.

El modelo deja fuera el rozamiento, la presión desigual de unas manos reales y la herramienta blanda de brea que se usa para el pulido final, y sus comprobaciones son de órdenes de magnitud, no un experimento específico. El artículo, aceptado con condiciones en el American Journal of Physics, se plantea como un caso para el aula: equilibrios estables e inestables, decaimiento exponencial y difusión, todo a partir de frotar dos trozos de vidrio.