随意地对磨两块玻璃盘，就能得到完美的球面

任何人都可以手工磨制望远镜镜面。把一块玻璃盘——“磨具”——固定在桌上，把第二块、也就是未来的镜面放在上面，在两者之间放上磨砂，然后以短促的行程来回推动上面那块盘。你绕着桌子慢慢走，边走边转动镜面，让每个方向都能轮到。每一次推动都与上一次略有不同。接着换用更细的磨砂，再换，一次又一次。

结果令人惊叹：两个表面会自行趋向完全吻合的球面，精度达到几十纳米。手册详细描述了这套做法。但据SLAC国家加速器实验室和斯坦福大学卡弗里粒子天体物理与宇宙学研究所的Emmanuel Schaan所说，手册并没有从第一性原理出发给出物理解释，说明为什么任何初始表面最终都会变成球面。

一条磨损定律

Schaan从普雷斯顿定律（Preston’s law）出发，这条定律于1927年针对平板玻璃的抛光而提出：在每一点上，材料被磨掉的速率与局部压力成正比，也与两个表面相对滑动的速度成正比。再加上一个简单的接触模型——一个表面相对另一个越是凸出，受到的压力就越大——一切都可以从同一个方程推导出来。

第一个推论仅仅来自对称性。只有当两个表面完全相同，并且在推磨的每一种运动之后看起来都一样时，这对表面才会停止变化。沿两个方向滑动的推磨只会留下平面；绕两条不同的轴转动的推磨只会留下球面。由于手工磨制的镜面被朝各个方向推动和转动，平面和球面就是仅有的可能终点。对于任何在两个表面吻合处压力为零的压力定律，这一结论都成立。

三座时钟

一个表面是否真能到达这些终点，取决于不同缺陷消失的快慢。

• 比行程小的凸起会被平均掉。它们在一个称为T_grind的时间尺度上呈指数式缩小——实际中为几十分钟到一小时。
• 两块盘之间的不吻合消失得快一倍，因为两个表面在同时磨损。
• 比行程大的偏差并不只是简单地缩小：对行程所覆盖的面积取平均后，方程变成了一个扩散方程——这类方程描述的是某种东西随时间扩散开来、自行趋于均匀的过程。大的偏差会慢慢扩散、慢慢变平。最后消失的那一种偏差跨越整个镜面，它决定了变成球面所需的时间：

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

对于经典的“常规”推法——其完整行程为镜面直径的三分之一——这大约是T_grind的30倍，也就是十个小时左右。

平面为何落败

重力打破了两块盘之间的对称。每当上盘伸出下盘边缘时，压力就会重新分布：上盘是中心被磨得更重，下盘则是边缘被磨得更重。上盘变凹，下盘变凸，因此平面是不稳定的。只要球面形成得比重力造成的形变更快，球面就能保持下去；行程足够短时正是如此：这时两个表面始终是相互吻合的球面，曲率缓慢增大。长行程则把这一先后顺序颠倒过来，这恰恰是磨镜者先用长的“弦向”推法挖深中心、再换成常规推法把它磨成球面的原因。

一面镜子的磨制日志

这些数量级与作者本人一面25厘米镜面的磨制日志进行了核对，这面镜子是手工磨制的，用时约50小时。双手以1到2千帕的压力按压，以每秒0.1到0.3米的速度滑动，最粗的磨砂每分钟能磨掉几微米。挖出中心3毫米深的凹陷应需约10小时：日志记录的是11小时50分。把它磨成球面应需约30 × T_grind，同样约10小时：日志记录的是12小时50分。这个模型甚至解释了为什么每个细砂阶段持续的时间大致相同，在2小时15分到5小时25分之间：更细的磨砂磨除材料更慢，但它需要去除的损伤层也更浅，两种效应相互抵消。

卵石与砂纸

同样的方程涵盖了两种日常情形。在滚磨机（rock tumbler）中，直径约1厘米的卵石在约1毫米的移动范围内相互摩擦。小凸起几周内就会消失，所以石头会变得光亮；但约为100的因子(R_rock/R_stroke)²把变成球体的时间推到了数年。旋转式滚磨机的滑动接触更长，比振动式滚磨机更能把棱角磨圆。用砂纸打磨一个扁平的小物件则是另一个极端：行程比物体还长，形变立刻发生，边缘总是会被磨圆。

这个模型忽略了摩擦力、真实双手施加的不均匀压力，以及最后抛光所用的柔软沥青磨具；它的验证是数量级上的比对，而不是专门设计的实验。这篇论文已被《美国物理学杂志》（American Journal of Physics）有条件接收，定位为一个课堂案例：稳定与不稳定的平衡、指数衰减与扩散，全都来自两块玻璃的相互摩擦。