CỌ HAI ĐĨA THỦY TINH MỘT CÁCH NGẪU NHIÊN, THU ĐƯỢC MỘT MẶT CẦU HOÀN HẢO

Ai cũng có thể tự làm một chiếc gương kính thiên văn bằng tay. Bạn cố định một đĩa thủy tinh, gọi là “dụng cụ” (tool), lên bàn, đặt đĩa thứ hai, chiếc gương tương lai, lên trên, cho hạt mài vào giữa, rồi đẩy đĩa trên tới lui bằng những nhát ngắn. Bạn đi chậm quanh bàn và xoay gương trong lúc làm, để mọi hướng đều được chia phần như nhau. Mỗi nhát đều hơi khác nhát trước. Rồi bạn chuyển sang loại hạt mài mịn hơn, rồi mịn hơn nữa, và cứ thế tiếp tục.

Kết quả thật đáng kinh ngạc: hai bề mặt tự hội tụ thành những mặt cầu khớp nhau hoàn hảo, chính xác tới vài chục nanomet. Các sách hướng dẫn mô tả công thức này rất chi tiết. Điều mà chúng không đưa ra, theo Emmanuel Schaan, thuộc Phòng thí nghiệm Máy gia tốc Quốc gia SLAC và Viện Kavli về Vật lý Thiên văn Hạt và Vũ trụ học của Đại học Stanford, là một lời giải thích vật lý từ những nguyên lý đầu tiên về việc vì sao bất kỳ bề mặt ban đầu nào cũng kết thúc ở dạng cầu.

Một định luật mài mòn

Schaan bắt đầu từ định luật Preston, công bố năm 1927 cho việc đánh bóng kính tấm: tại mỗi điểm, vật liệu bị mài mòn với tốc độ tỷ lệ với áp suất cục bộ và với tốc độ trượt của hai bề mặt lên nhau. Thêm một mô hình tiếp xúc đơn giản — một bề mặt càng nhô ra so với bề mặt kia thì càng bị ép mạnh — và mọi thứ đều suy ra từ một phương trình duy nhất.

Hệ quả đầu tiên đến chỉ từ tính đối xứng. Một cặp bề mặt chỉ ngừng thay đổi nếu hai bề mặt giống hệt nhau và trông vẫn như cũ sau mọi chuyển động của nhát đẩy. Những nhát đẩy trượt theo hai hướng chỉ để lại mặt phẳng; những nhát đẩy xoay quanh hai trục khác nhau chỉ để lại mặt cầu. Vì một chiếc gương mài tay được đẩy và xoay theo mọi hướng, mặt phẳng và mặt cầu là những điểm kết thúc khả dĩ duy nhất. Điều này đúng với bất kỳ định luật áp suất nào trong đó áp suất triệt tiêu ở nơi hai bề mặt khớp nhau.

Ba chiếc đồng hồ

Việc một bề mặt có thực sự đạt tới những điểm kết thúc ấy hay không phụ thuộc vào tốc độ biến mất của các khuyết tật khác nhau.

Những chỗ gồ nhỏ hơn nhát đẩy bị trung bình hóa đi. Chúng co lại theo hàm mũ trong một khoảng thời gian gọi là T_grind — trong thực tế từ vài chục phút đến một giờ.
Độ lệch giữa hai đĩa mờ đi nhanh gấp đôi, vì cả hai bề mặt cùng mòn một lúc.
Những sai lệch lớn hơn nhát đẩy không đơn giản là co lại: việc lấy trung bình trên vùng mà nhát đẩy quét qua biến phương trình thành một phương trình khuếch tán — loại phương trình mô tả một thứ gì đó lan ra và tự san đều theo thời gian. Những sai lệch lớn lan ra và phẳng dần một cách chậm chạp. Sai lệch cuối cùng biến mất trải trên toàn bộ chiếc gương, và nó quyết định thời gian để thành mặt cầu:

T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind

Với nhát đẩy “bình thường” (normal stroke) kinh điển, có hành trình toàn phần bằng một phần ba đường kính gương, con số đó là khoảng 30 lần T_grind — khoảng mười giờ.

Vì sao mặt phẳng thua cuộc

Trọng lực phá vỡ tính đối xứng giữa hai đĩa. Mỗi khi đĩa trên chìa ra ngoài đĩa dưới, áp suất phân bố lại: đĩa trên bị mài mạnh hơn ở tâm, còn đĩa dưới ở mép. Đĩa trên lõm xuống, đĩa dưới phồng lên, nên mặt phẳng không ổn định. Mặt cầu tồn tại chừng nào chúng hình thành nhanh hơn tốc độ trọng lực làm biến dạng chúng, điều xảy ra với những nhát đẩy đủ ngắn: khi đó hai bề mặt vẫn là những mặt cầu khớp nhau với độ cong tăng dần một cách chậm rãi. Những nhát đẩy dài đảo ngược thứ tự đó, và đó chính là lý do những người làm gương bắt đầu bằng một nhát đẩy “dây cung” (chordal stroke) dài để khoét phần tâm, rồi chuyển sang nhát đẩy bình thường để biến nó thành mặt cầu.

Nhật ký của một chiếc gương

Các bậc độ lớn được kiểm tra với nhật ký của chính chiếc gương 25 centimét mà tác giả đã mài bằng tay trong khoảng 50 giờ. Với hai bàn tay ép ở mức 1 đến 2 kilopascal và trượt với tốc độ 0,1 đến 0,3 mét mỗi giây, loại hạt mài thô nhất loại bỏ vài micromet mỗi phút. Việc khoét chỗ lõm 3 milimét ở tâm lẽ ra mất khoảng 10 giờ: nhật ký ghi 11 giờ 50 phút. Việc biến nó thành mặt cầu lẽ ra mất khoảng 30 × T_grind, cũng khoảng 10 giờ: nhật ký ghi 12 giờ 50 phút. Mô hình thậm chí còn giải thích vì sao mỗi giai đoạn hạt mài mịn kéo dài gần như bằng nhau, trong khoảng từ 2 giờ 15 phút đến 5 giờ 25 phút: hạt mài mịn hơn loại bỏ vật liệu chậm hơn, nhưng nó cũng chỉ có một lớp hư hại nông hơn cần loại bỏ, và hai hiệu ứng triệt tiêu nhau.

Sỏi và giấy nhám

Cùng những phương trình ấy bao quát hai trường hợp đời thường. Trong một máy quay đánh bóng đá (rock tumbler), những viên sỏi cỡ khoảng 1 centimét cọ xát qua những dịch chuyển khoảng 1 milimét. Những chỗ gồ nhỏ biến mất trong vài tuần, nên đá trở nên bóng loáng; nhưng hệ số (R_rock/R_stroke)² vào khoảng 100 đẩy thời gian để thành hình cầu lên tới nhiều năm. Máy dạng thùng quay, với những tiếp xúc trượt dài hơn, làm tròn các cạnh nhiều hơn máy dạng rung. Chà nhám một vật phẳng nhỏ là thái cực ngược lại: nhát đẩy dài hơn vật, sự biến dạng là tức thì, và các cạnh luôn bị bo tròn.

Mô hình bỏ qua ma sát, áp lực không đều của bàn tay thật và dụng cụ bằng nhựa pitch mềm dùng cho khâu đánh bóng cuối cùng, và các kiểm chứng của nó chỉ ở mức bậc độ lớn chứ không phải một thí nghiệm chuyên biệt. Bài báo, đã được tạp chí American Journal of Physics chấp nhận có điều kiện, được trình bày như một trường hợp dành cho lớp học: cân bằng bền và không bền, suy giảm theo hàm mũ và khuếch tán, tất cả chỉ từ việc cọ hai mảnh thủy tinh vào nhau.