2枚のガラス円板をでたらめにこすり合わせると、完璧な球面ができる
望遠鏡の鏡は、誰でも手で作ることができる。1枚のガラス円板、つまり「工具」を台に固定し、その上に2枚目、つまり将来の鏡をのせ、あいだに研磨剤の粒をはさんで、上の円板を短いストロークで前後に押す。台のまわりをゆっくり歩きながら鏡を回していくので、どの向きにも均等にストロークがかかる。ストロークは毎回、前のものと少しずつ違う。それから、より細かい研磨剤に替え、さらにまた替え、また替える。
結果は驚くべきものだ。2つの面はひとりでに完全に一致する球面へと収束し、その精度は数十ナノメートルに達する。手引き書にはその手順が詳しく書かれている。しかし、SLAC国立加速器研究所とスタンフォード大学カブリ素粒子天体物理学・宇宙論研究所のEmmanuel Schaanによれば、手引き書が示していないのは、どんな初期の面でも最後には球面になるのはなぜなのかについての、第一原理からの物理的な説明だ。
たった一つの摩耗の法則
Schaanは、1927年に板ガラスの研磨について発表されたプレストンの法則（Preston’s law）から出発する。それぞれの点で、材料がすり減る速さは、その場所の圧力と、2つの面が互いにすべる速さに比例する、という法則だ。これに単純な接触モデル、つまり一方の面が他方に対して出っ張っているほど強く押されるというモデルを加えると、すべてがたった一つの方程式から導かれる。
最初の帰結は、対称性だけから出てくる。2つの面の組が変化しなくなるのは、2つが同一で、しかもストロークのどの動きのあとでも同じに見える場合に限られる。2つの方向にすべるストロークで残るのは平面だけで、2つの異なる軸のまわりに回るストロークで残るのは球面だけだ。手で研磨する鏡はあらゆる向きに押され、回されるので、ありうる終着点は平面と球面しかない。これは、面が一致するところで圧力がゼロになるような圧力の法則なら、どんなものでも成り立つ。
3つの時計
面が実際にこれらの終着点にたどり着くかどうかは、さまざまな欠陥がどれだけ速く消えるかで決まる。
- ストロークより小さな凸凹は、平均化されて消える。凸凹はT_grindと呼ばれる時間で指数関数的に縮む。実際には数十分から1時間だ。
- 2枚の円板どうしの食い違いは、その2倍の速さで消える。両方の面が同時にすり減るからだ。
- ストロークより大きなずれは、単純に縮むわけではない。ストロークが覆う範囲で平均をとると、方程式は拡散方程式に変わる。何かが時間とともに広がり、ならされていく様子を記述する種類の方程式だ。大きなずれはゆっくりと広がり、平らになっていく。最後まで残るずれは鏡全体にわたっていて、それが球面になるまでの時間を決める。
T_sphere = (32/π²) × (R_mirror / R_stroke)² × T_grind
古典的な「ノーマル」ストローク、つまり全行程が鏡の直径の3分の1のストロークでは、これは約T_grindの30倍、つまり10時間ほどになる。
平面が負ける理由
重力が、2枚の円板のあいだの対称性を破る。上の円板が下の円板からはみ出すたびに、圧力の分布が変わる。上の円板は中心部が、下の円板は縁が、より強く削られるのだ。上の円板はくぼみ、下の円板はふくらむので、平面は不安定だ。球面は、重力がそれをゆがめるより速く形成されるかぎり生き残る。ストロークが十分に短ければそうなり、2つの面は一致した球面のまま、その曲率がゆっくりと大きくなっていく。長いストロークでは順序が逆になる。鏡の製作者が、まず長い「コーダル」（chordal）ストロークで中心を掘り、そのあとノーマルストロークに切り替えて球面にするのは、まさにこのためだ。
ある鏡の作業日誌
見積もった桁は、Schaan自身が約50時間かけて手で研磨した25センチメートルの鏡の作業日誌と照らし合わせて確かめられている。両手で1〜2キロパスカルの圧力をかけ、毎秒0.1〜0.3メートルの速さですべらせると、いちばん粗い研磨剤は1分あたり数マイクロメートルを削り取る。中心に3ミリメートルのくぼみを掘るには約10時間かかるはずで、日誌の記録は11時間50分だ。球面にするには約30 × T_grind、やはり約10時間かかるはずで、日誌では12時間50分だった。モデルは、細かい研磨剤の各段階がほぼ同じ時間、2時間15分から5時間25分かかった理由まで説明する。細かい研磨剤は材料を削る速さが遅いが、取り除くべき損傷層も浅いので、2つの効果が打ち消し合うのだ。
小石と紙やすり
同じ方程式は、身近な2つの例にもあてはまる。ロックタンブラー（回転式研磨機）の中では、直径約1センチメートルの小石が、約1ミリメートルの移動幅でこすれ合う。小さな凸凹は数週間で消えるので石はつやを帯びるが、約100になる係数(R_rock/R_stroke)²のせいで、球になるまでの時間は何年にも延びる。すべって接触する距離が長い回転式のタンブラーは、振動式のものより角をよく丸める。小さな平たい物を紙やすりで磨くのは、反対側の極端な例だ。ストロークが物体より長いので変形はすぐに起こり、縁はかならず丸くなる。
このモデルは、摩擦や、実際の手が加える不均一な圧力、最終研磨に使う柔らかいピッチの工具を考慮に入れておらず、その検証も専用の実験ではなく桁の見積もりによるものだ。American Journal of Physicsに条件付きで受理されたこの論文は、授業のための題材として位置づけられている。安定な平衡と不安定な平衡、指数関数的な減衰と拡散、そのすべてが2枚のガラスをこすり合わせることから出てくるのだ。