EL PROBLEMA DEL CÍRCULO DE GAUSS BAJA DE 5/16

Toma un círculo centrado en un punto de la cuadrícula de una hoja infinita de papel cuadriculado y cuenta los cruces que caen dentro. La respuesta se acerca al área del círculo, pero nunca es igual a ella, porque el borde corta la cuadrícula de forma irregular. El problema del círculo de Gauss pregunta hasta dónde puede llegar ese desajuste.

Con la notación del artículo, el disco es a² + b² ≤ X, donde X es el cuadrado del radio, de modo que su área es πX. El desajuste es

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

es decir, el número de puntos de la cuadrícula (a, b) del interior menos el área. Todos los exponentes que siguen son potencias de X, como en el artículo.

Del perímetro a la conjetura

El argumento geométrico de Gauss da E(X) = O(X^{1/2}): el error es como mucho del orden del radio, aproximadamente el tamaño del borde del círculo. Esa es la cota fácil.

En el otro extremo, Hardy demostró que el error no deja de oscilar, en ambos sentidos, hasta valores del orden de X^{1/4}, de modo que ninguna cota con un exponente inferior a 1/4 puede ser válida. La respuesta esperada, que el artículo llama conjetura de Hardy, es que 1/4 es esencialmente correcto: |E(X)| ≲ X^{1/4+ε} para todo ε > 0, donde ε indica una pérdida menor que cualquier potencia fija.

Todo lo que vino después ha sido una pugna por el exponente entre 1/2 y 1/4. La tabla histórica del artículo enumera los pasos: Sierpiński en 1906 con 1/3, van der Corput, Titchmarsh, Hua, Chen, Kolesnik, Iwaniec y Mozzochi con 7/22 en 1988, Huxley con 23/73 en 1993 y 131/416 (alrededor de 0,3149) en 2003, y luego Li y Yang, en una prepublicación de 2023, con 0,3144831759…

El umbral de 5/16

Gran parte de ese progreso se debe a una técnica creada por Bombieri e Iwaniec y adaptada al círculo por Iwaniec y Mozzochi. Convierte el problema en estimaciones sobre sumas exponenciales, que se reducen a dos problemas de «espaciado»: contar con qué frecuencia ciertas aproximaciones racionales caen muy juntas. Huxley llevó este método más lejos que nadie y en 1993 sugirió 5/16 = 0,3125 como posible límite del método de Bombieri–Iwaniec tal como estaba entonces. El récord de Li y Yang, obtenido al incorporar una herramienta reciente del análisis armónico —el teorema de «desacoplamiento de casquetes pequeños» (small cap decoupling) de Guth y Maldague—, seguía por encima.

Xi Cen (Universidad de Minería y Tecnología de China, Pekín), Xitao Gao y Junyong Zhang (Instituto de Tecnología de Pekín) y Cheng Zhang (Centro de Ciencias Matemáticas Yau, Universidad Tsinghua) demuestran ahora:

Teorema 1.1. Para todo ε > 0 y todo número real X ≥ 4, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.

Y precisan exactamente cuánto queda por debajo de la línea:

209/670 = 5/16 − 3/5360

Es decir, alrededor de 0,31194: una mejora de 0,0025 respecto a Li y Yang. Pequeña en tamaño, pero al otro lado de un valor que había servido de referencia para todo un enfoque.

Dos refinamientos, dos intervalos

La demostración divide los parámetros restantes en dos intervalos, que se encuentran justo en el punto en que ambos dan 209/670.

En el intervalo intermedio, los autores desarrollan una fase hasta sexto orden y usan el teorema del valor medio de Vinogradov para reducirlo todo a un recuento de pares de puntos que coinciden en sus coeficientes de Taylor cuarto, quinto y sexto. El paso clave es resolver esas restricciones de forma explícita: el error lineal se cancela, y queda un error cuadrático lo bastante pequeño como para tratarlo mediante un desarrollo de Fourier y las estimaciones de espaciado de Robert y Sargos. El recuento de pares resulta tan pequeño como el de los pares «diagonales» triviales, salvo pérdidas arbitrariamente pequeñas.

En el intervalo mayor, el ingrediente nuevo es una estimación de distribución para sumas exponenciales cuyas frecuencias están sobre un cono, derivada de una estimación de Guth y Maldague que depende de la amplitud. Produce dos términos, uno con una cuarta potencia y otro con una sexta potencia. Mantenerlos separados a lo largo de la doble gran criba, en lugar de fusionarlos primero en una única estimación de momentos, es lo que da resultado. Según el artículo, esto funciona sin reforzar la cota del segundo espaciado de Watt, la otra pieza principal.

Todavía lejos de 1/4

El nuevo exponente, 0,3119, sigue lejos del 0,25 conjeturado. El artículo repasa también la otra cara del problema —hasta dónde se sabe que llega el error—, donde los resultados de Soundararajan, Lamzouri y otros precisan cada vez mejor sus mayores oscilaciones.

El trabajo es una prepublicación de 34 páginas. Los autores declaran que usaron ChatGPT y Codex para discutir estrategias de demostración, ayudar a redactar y comprobar partes de los argumentos y organizar las referencias, y que todos los enunciados y demostraciones fueron escritos, revisados y verificados por ellos. Para la cuadrícula de puntos de Gauss, hoy se sabe que el error no crece más rápido que aproximadamente X^{0,312}, con margen, en principio, hasta llegar a X^{0,25}.