காஸின் வட்டப் புதிர் 5/16-க்குக் கீழே நழுவுகிறது

முடிவில்லாத ஒரு சதுரக் கோடிட்ட தாளில், ஒரு கட்டப் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை எடுத்து, அதற்குள் விழும் கோடுகளின் சந்திப்புகளை எண்ணுங்கள். பதில் வட்டத்தின் பரப்பளவுக்கு அருகில் இருக்கும் — ஆனால் ஒருபோதும் அதற்குச் சமமாக இருக்காது, ஏனெனில் விளிம்பு கட்டத்தை ஒழுங்கற்ற விதத்தில் வெட்டுகிறது. அந்தப் பொருத்தமின்மை எவ்வளவு பெரிதாகலாம் என்று காஸ் வட்டப் புதிர் (Gauss circle problem) கேட்கிறது.

கட்டுரையின் குறியீட்டில், வட்டத்தட்டு a² + b² ≤ X; இங்கு X என்பது ஆரத்தின் வர்க்கம், எனவே அதன் பரப்பளவு πX. பொருத்தமின்மை

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— உள்ளே உள்ள (a, b) கட்டப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை கழித்தல் பரப்பளவு. கீழே உள்ள எல்லா அடுக்குகளும், கட்டுரையில் உள்ளதுபோலவே, X-இன் அடுக்குகள்.

சுற்றளவிலிருந்து அனுமானம் வரை

காஸின் வடிவியல் வாதம் E(X) = O(X^{1/2}) என்று தருகிறது: பிழை அதிகபட்சம் ஆரத்தின் வரிசையில், தோராயமாக வட்டத்தின் எல்லை அளவுக்கு. இது எளிய எல்லை.

மறுமுனையில், பிழை இரு திசைகளிலும் X^{1/4} வரிசையிலான மதிப்புகள் வரை தொடர்ந்து ஊசலாடுகிறது என்று Hardy நிரூபித்தார் — எனவே 1/4-க்குக் கீழே அடுக்குள்ள எந்த எல்லையும் உண்மையாக இருக்க முடியாது. கட்டுரை Hardy அனுமானம் (Hardy’s conjecture) என்று அழைக்கும் எதிர்பார்க்கப்படும் பதில்: 1/4 அடிப்படையில் சரியானது — ஒவ்வொரு ε > 0-க்கும் |E(X)| ≲ X^{1/4+ε}; இங்கு ε என்பது எந்த நிலையான அடுக்கையும்விடச் சிறிய இழப்பைக் குறிக்கிறது.

அதன்பின் நடந்தவை எல்லாம் 1/2-க்கும் 1/4-க்கும் இடையிலான அடுக்குக்கான போராட்டம். கட்டுரையின் வரலாற்று அட்டவணை படிகளைப் பட்டியலிடுகிறது: 1906-இல் 1/3 உடன் Sierpiński; van der Corput, Titchmarsh, Hua, Chen, Kolesnik; 1988-இல் 7/22 உடன் Iwaniec, Mozzochi; 1993-இல் 23/73, 2003-இல் 131/416 (சுமார் 0.3149) உடன் Huxley; பிறகு 2023 முன்பதிப்பில் 0.3144831759… உடன் Li, Yang.

5/16-இல் உள்ள வாசல்

இந்த முன்னேற்றத்தின் பெரும்பகுதி, Bombieri, Iwaniec உருவாக்கி, Iwaniec, Mozzochi வட்டத்துக்கு ஏற்றவாறு மாற்றிய ஒரு நுட்பத்திலிருந்து வந்தது. அது புதிரை அடுக்குக்குறிக் கூட்டுத்தொகைகள் (exponential sums) மீதான மதிப்பீடுகளாக மாற்றுகிறது; அவை இரண்டு “இடைவெளி” (spacing) புதிர்களாகச் சுருங்குகின்றன: சில விகிதமுறு தோராயங்கள் எத்தனை முறை ஒன்றுக்கொன்று அருகில் விழுகின்றன என்று எண்ணுவது. Huxley இந்த முறையை மிகத் தொலைவு தள்ளினார்; 1993-இல் 5/16 = 0.3125-ஐ, அப்போதைய வடிவிலான Bombieri–Iwaniec முறையின் சாத்தியமான வரம்பாக முன்மொழிந்தார். இசைப் பகுப்பாய்விலிருந்து (harmonic analysis) ஒரு புதிய கருவியை — Guth, Maldague ஆகியோரின் “small cap decoupling” தேற்றத்தை — கொண்டுவந்து பெற்ற Li, Yang சாதனை இன்னும் அதற்கு மேலேயே இருந்தது.

Xi Cen (சீன சுரங்க மற்றும் தொழில்நுட்பப் பல்கலைக்கழகம்-பெய்ஜிங்), Xitao Gao, Junyong Zhang (பெய்ஜிங் தொழில்நுட்பக் கழகம்), Cheng Zhang (Yau கணித அறிவியல் மையம், சிங்குவா பல்கலைக்கழகம்) இப்போது நிரூபிக்கின்றனர்:

தேற்றம் 1.1. ஒவ்வொரு ε > 0-க்கும் ஒவ்வொரு மெய்யெண் X ≥ 4-க்கும், |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.

அது கோட்டுக்கு எவ்வளவு கீழே இறங்குகிறது என்பதையும் துல்லியமாக எழுதுகின்றனர்:

209/670 = 5/16 − 3/5360

இது சுமார் 0.31194 — Li, Yang-ஐவிட 0.0025 முன்னேற்றம். அளவில் சிறியது, ஆனால் ஒரு முழு அணுகுமுறைக்கும் அடையாளக் குறியாக இருந்த ஒரு மதிப்பின் மறுபக்கத்தில்.

இரண்டு மேம்பாடுகள், இரண்டு வரம்புகள்

நிரூபணம் மீதமுள்ள அளவுருக்களை இரண்டு வரம்புகளாகப் பிரிக்கிறது; இரண்டுமே 209/670 தரும் புள்ளியில் அவை சரியாகச் சந்திக்கின்றன.

நடு வரம்பில், ஆசிரியர்கள் ஒரு கட்டத்தை (phase) ஆறாம் வரிசை வரை விரித்து, Vinogradov சராசரி மதிப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எல்லாவற்றையும் நான்காம், ஐந்தாம், ஆறாம் Taylor குணகங்களில் ஒத்துப்போகும் புள்ளி ஜோடிகளின் எண்ணிக்கையாகச் சுருக்குகின்றனர். முக்கியப் படி, அந்தக் கட்டுப்பாடுகளை வெளிப்படையாகத் தீர்ப்பது: நேரியல் பிழை நீங்குகிறது; Fourier விரிவாக்கம், Robert, Sargos ஆகியோரின் இடைவெளி மதிப்பீடுகள் மூலம் கையாளும் அளவுக்குச் சிறிய இருபடிப் பிழை மட்டும் எஞ்சுகிறது. ஜோடிகளின் எண்ணிக்கை, தன்னிச்சையாகச் சிறிய இழப்புகள் தவிர, அற்பமான “மூலைவிட்ட” ஜோடிகள் அளவுக்கே சிறியதாக வருகிறது.

பெரிய வரம்பில், புதிய கூறு: அதிர்வெண்கள் ஒரு கூம்பின் மீது அமையும் அடுக்குக்குறிக் கூட்டுத்தொகைகளுக்கான ஒரு பரவல் மதிப்பீடு; Guth, Maldague ஆகியோரின் வீச்சு சார்ந்த (amplitude-dependent) மதிப்பீட்டிலிருந்து பெறப்பட்டது. அது இரண்டு உறுப்புகளைத் தருகிறது — ஒன்று நான்காம் அடுக்குடன், மற்றொன்று ஆறாம் அடுக்குடன். அவற்றை முதலிலேயே ஒரே திருப்புத்திறன் (moment) மதிப்பீடாக இணைக்காமல், இரட்டைப் பெரும் சல்லடை (double large sieve) முழுவதும் தனித்தனியாக வைத்திருப்பதுதான் பலன் தருகிறது. கட்டுரையின்படி, மற்றொரு முக்கிய உள்ளீடான Watt-இன் இரண்டாம் இடைவெளி எல்லையை வலுப்படுத்தாமலேயே இது செயல்படுகிறது.

1/4-க்கு இன்னும் நீண்ட தூரம்

புதிய அடுக்கு 0.3119, அனுமானிக்கப்பட்ட 0.25-இலிருந்து இன்னும் தொலைவில் உள்ளது. கட்டுரை புதிரின் மறுபக்கத்தையும் அலசுகிறது — பிழை எவ்வளவு பெரிதாகும் என்று அறியப்பட்டது — அங்கு Soundararajan, Lamzouri மற்றும் பிறரின் முடிவுகள் அதன் மிகப்பெரிய ஊசலாட்டங்களை மேலும் மேலும் துல்லியமாக வரையறுக்கின்றன.

இந்த ஆய்வு 34 பக்க முன்பதிப்பு. நிரூபண உத்திகளை விவாதிக்கவும், வாதங்களின் சில பகுதிகளை வரைவு செய்யவும் சரிபார்க்கவும் உதவவும், மேற்கோள்களை ஒழுங்குபடுத்தவும் ChatGPT, Codex ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தியதாகவும், ஒவ்வொரு கூற்றையும் நிரூபணத்தையும் தாங்களே எழுதி, மறுஆய்வு செய்து, சரிபார்த்ததாகவும் ஆசிரியர்கள் கூறுகின்றனர். காஸின் புள்ளிக் கட்டத்துக்கு, பிழை சுமார் X^{0.312}-ஐவிட வேகமாக வளர்வதில்லை என்று இப்போது தெரியும் — கொள்கையளவில் X^{0.25} வரை இன்னும் இடம் உள்ளது.