O PROBLEMA DO CÍRCULO DE GAUSS DESCE ABAIXO DE 5/16

Pegue um círculo centrado num ponto da grade de uma folha infinita de papel quadriculado e conte os cruzamentos que ficam dentro dele. A resposta fica perto da área do círculo — mas nunca é igual a ela, porque a borda corta a grade de forma irregular. O problema do círculo de Gauss pergunta até que ponto essa discrepância pode crescer.

Na notação do artigo, o disco é a² + b² ≤ X, onde X é o quadrado do raio, de modo que a sua área é πX. A discrepância é

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— o número de pontos da grade (a, b) no interior, menos a área. Todos os expoentes abaixo são potências de X, como no artigo.

Do perímetro à conjectura

O argumento geométrico de Gauss dá E(X) = O(X^{1/2}): o erro é no máximo da ordem do raio, aproximadamente o tamanho da borda do círculo. Esse é o limite fácil.

No outro extremo, Hardy provou que o erro continua oscilando, nos dois sentidos, até valores da ordem de X^{1/4} — portanto, nenhum limite com expoente abaixo de 1/4 pode valer. A resposta esperada, que o artigo chama de conjectura de Hardy, é que 1/4 está essencialmente correto: |E(X)| ≲ X^{1/4+ε} para todo ε > 0, onde o ε indica uma perda menor do que qualquer potência fixa.

Tudo o que veio depois foi uma disputa pelo expoente entre 1/2 e 1/4. A tabela histórica do artigo enumera as etapas: Sierpiński em 1906 com 1/3, van der Corput, Titchmarsh, Hua, Chen, Kolesnik, Iwaniec e Mozzochi com 7/22 em 1988, Huxley com 23/73 em 1993 e 131/416 (cerca de 0,3149) em 2003, e depois Li e Yang, numa pré-publicação de 2023, com 0,3144831759…

O limiar de 5/16

Grande parte desse progresso veio de uma técnica construída por Bombieri e Iwaniec e adaptada ao círculo por Iwaniec e Mozzochi. Ela transforma o problema em estimativas de somas exponenciais, que se reduzem a dois problemas de “espaçamento”: contar com que frequência certas aproximações racionais ficam próximas umas das outras. Huxley levou esse método mais longe do que ninguém e, em 1993, sugeriu 5/16 = 0,3125 como um possível limite do método de Bombieri–Iwaniec tal como ele existia então. O recorde de Li e Yang, obtido com a introdução de uma ferramenta recente da análise harmônica — o teorema de “desacoplamento de pequenas calotas” (small cap decoupling) de Guth e Maldague —, ainda ficava acima dele.

Xi Cen (China University of Mining and Technology-Beijing), Xitao Gao e Junyong Zhang (Beijing Institute of Technology) e Cheng Zhang (Yau Mathematical Sciences Center, Universidade Tsinghua) provam agora:

Teorema 1.1. Para todo ε > 0 e todo real X ≥ 4, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.

E explicitam exatamente quanto abaixo da linha esse resultado fica:

209/670 = 5/16 − 3/5360

Isso dá cerca de 0,31194 — um ganho de 0,0025 em relação a Li e Yang. Pequeno em tamanho, mas do outro lado de um valor que tinha servido de marco para toda uma abordagem.

Dois refinamentos, dois intervalos

A demonstração divide os parâmetros restantes em dois intervalos, que se encontram exatamente no ponto em que ambos dão 209/670.

No intervalo intermediário, os autores desenvolvem uma fase até a sexta ordem e usam o teorema do valor médio de Vinogradov para reduzir tudo a uma contagem de pares de pontos que coincidem nos seus quarto, quinto e sexto coeficientes de Taylor. O passo decisivo é resolver essas restrições explicitamente: o erro linear se cancela, deixando um erro quadrático pequeno o bastante para ser tratado por expansão de Fourier e pelas estimativas de espaçamento de Robert e Sargos. A contagem de pares resulta tão pequena quanto a dos pares “diagonais” triviais, a menos de perdas arbitrariamente pequenas.

No intervalo maior, o ingrediente novo é uma estimativa de distribuição para somas exponenciais cujas frequências estão sobre um cone, derivada de uma estimativa dependente da amplitude de Guth e Maldague. Ela produz dois termos, um com uma quarta potência e outro com uma sexta potência. Mantê-los separados ao longo do duplo grande crivo (double large sieve), em vez de fundi-los primeiro numa única estimativa de momento, é o que compensa. Segundo o artigo, isso funciona sem reforçar o limite do segundo espaçamento de Watt, o outro ingrediente principal.

Ainda falta muito para 1/4

O novo expoente, 0,3119, ainda está longe do 0,25 conjecturado. O artigo também revisa o outro lado do problema — até que ponto se sabe que o erro chega —, onde resultados de Soundararajan, Lamzouri e outros determinam com precisão cada vez maior as suas maiores oscilações.

O trabalho é uma pré-publicação de 34 páginas. Os autores declaram que usaram o ChatGPT e o Codex para discutir estratégias de demonstração, ajudar a redigir e verificar partes dos argumentos e organizar as referências, e que todas as afirmações e demonstrações foram escritas, revisadas e verificadas por eles. Para a grade de pontos de Gauss, sabe-se agora que o erro não cresce mais rápido do que cerca de X^{0,312} — restando margem, em princípio, até X^{0,25}.