MASALAH LINGKARAN GAUSS TURUN DI BAWAH 5/16
Ambil sebuah lingkaran yang berpusat di titik kisi pada selembar kertas berpetak yang tak berujung, lalu hitung titik-titik persilangan yang jatuh di dalamnya. Jawabannya mendekati luas lingkaran — tetapi tidak pernah sama persis, karena tepi lingkaran memotong kisi secara tidak beraturan. Masalah lingkaran Gauss menanyakan seberapa besar ketidakcocokan itu bisa tumbuh.
Dalam notasi makalah, cakramnya adalah a² + b² ≤ X, dengan X adalah kuadrat jari-jari, sehingga luasnya πX. Ketidakcocokannya adalah
E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX
— jumlah titik kisi (a, b) di dalam lingkaran, dikurangi luasnya. Semua eksponen di bawah ini adalah pangkat dari X, seperti dalam makalah.
Dari keliling ke konjektur
Argumen geometris Gauss memberikan E(X) = O(X^{1/2}): galatnya paling besar seorde dengan jari-jari, kira-kira sebesar keliling lingkaran. Itulah batas yang mudah.
Di ujung lain, Hardy membuktikan bahwa galat itu terus berayun, ke dua arah, hingga nilai seorde X^{1/4} — sehingga tidak ada batas dengan eksponen di bawah 1/4 yang bisa berlaku. Jawaban yang diharapkan, yang dalam makalah disebut konjektur Hardy, adalah bahwa 1/4 pada dasarnya benar: |E(X)| ≲ X^{1/4+ε} untuk setiap ε > 0, dengan ε menyatakan kerugian yang lebih kecil daripada pangkat tetap mana pun.
Segala yang terjadi sesudahnya adalah perebutan eksponen di antara 1/2 dan 1/4. Tabel sejarah dalam makalah mencantumkan tahap-tahapnya: Sierpiński pada 1906 dengan 1/3, van der Corput, Titchmarsh, Hua, Chen, Kolesnik, Iwaniec dan Mozzochi dengan 7/22 pada 1988, Huxley dengan 23/73 pada 1993 dan 131/416 (sekitar 0,3149) pada 2003, lalu Li dan Yang, dalam pracetak tahun 2023, dengan 0,3144831759…
Ambang di 5/16
Sebagian besar kemajuan itu berasal dari teknik yang dibangun oleh Bombieri dan Iwaniec dan diadaptasi untuk lingkaran oleh Iwaniec dan Mozzochi. Teknik ini mengubah masalah menjadi estimasi jumlah eksponensial, yang bermuara pada dua masalah “jarak”: menghitung seberapa sering aproksimasi rasional tertentu jatuh berdekatan. Huxley mendorong metode ini paling jauh, dan pada 1993 menduga 5/16 = 0,3125 sebagai kemungkinan batas metode Bombieri–Iwaniec sebagaimana bentuknya saat itu. Rekor Li dan Yang, yang diperoleh dengan memasukkan alat baru dari analisis harmonik — teorema “small cap decoupling” (dekopling tudung kecil) dari Guth dan Maldague — masih berada di atasnya.
Xi Cen (China University of Mining and Technology-Beijing), Xitao Gao dan Junyong Zhang (Beijing Institute of Technology), serta Cheng Zhang (Yau Mathematical Sciences Center, Universitas Tsinghua) kini membuktikan:
Teorema 1.1. Untuk setiap ε > 0 dan setiap bilangan real X ≥ 4, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.
Dan mereka merinci dengan tepat seberapa jauh di bawah garis itu hasilnya:
209/670 = 5/16 − 3/5360
Itu sekitar 0,31194 — perbaikan sebesar 0,0025 dibanding Li dan Yang. Kecil ukurannya, tetapi berada di sisi lain sebuah nilai yang selama ini menjadi penanda bagi seluruh pendekatan.
Dua penyempurnaan, dua rentang
Pembuktiannya membagi parameter yang tersisa ke dalam dua rentang, yang bertemu tepat di titik ketika keduanya menghasilkan 209/670.
Pada rentang tengah, para penulis menguraikan sebuah fase hingga orde keenam dan memakai teorema nilai rata-rata Vinogradov untuk mereduksi semuanya menjadi penghitungan pasangan titik yang sama pada koefisien Taylor keempat, kelima, dan keenam. Langkah kuncinya adalah menyelesaikan kendala-kendala itu secara eksplisit: galat liniernya saling meniadakan, menyisakan galat kuadratik yang cukup kecil untuk ditangani dengan ekspansi Fourier dan estimasi jarak dari Robert dan Sargos. Jumlah pasangan yang diperoleh sama kecilnya dengan pasangan “diagonal” yang trivial, dengan kerugian yang dapat dibuat sekecil apa pun.
Pada rentang yang lebih besar, bahan barunya adalah estimasi distribusi untuk jumlah eksponensial yang frekuensinya terletak pada sebuah kerucut, diturunkan dari estimasi Guth dan Maldague yang bergantung pada amplitudo. Estimasi ini menghasilkan dua suku, satu dengan pangkat empat dan satu dengan pangkat enam. Menjaga keduanya tetap terpisah di sepanjang saringan besar ganda (double large sieve), alih-alih lebih dulu menggabungkannya menjadi satu estimasi momen, itulah yang membuahkan hasil. Menurut makalah, cara ini berhasil tanpa perlu memperkuat batas jarak kedua dari Watt, masukan utama lainnya.
Masih jauh menuju 1/4
Eksponen baru, 0,3119, masih jauh dari 0,25 yang diduga. Makalah ini juga meninjau sisi lain masalah — seberapa besar galat itu diketahui bisa mencapai — tempat hasil-hasil dari Soundararajan, Lamzouri, dan lainnya menetapkan ayunan terbesarnya dengan makin presisi.
Karya ini berupa pracetak setebal 34 halaman. Para penulis menyatakan bahwa mereka memakai ChatGPT dan Codex untuk mendiskusikan strategi pembuktian, membantu menyusun draf dan memeriksa sebagian argumen, serta merapikan referensi, dan bahwa setiap pernyataan dan pembuktian ditulis, ditinjau, dan diverifikasi oleh mereka sendiri. Untuk kisi titik Gauss, kini diketahui bahwa galatnya tumbuh tidak lebih cepat daripada sekitar X^{0,312} — dengan ruang yang, pada prinsipnya, masih tersisa hingga X^{0,25}.