गाउसचा वर्तुळ-प्रश्न 5/16 च्या खाली घसरला

चौकटींच्या एका अनंत कागदावरील जाळी-बिंदूवर केंद्र असलेले वर्तुळ घ्या आणि त्याच्या आत पडणारे छेदबिंदू मोजा. उत्तर वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या जवळ असते — पण कधीच त्याच्या बरोबर नसते, कारण कड जाळीला अनियमित पद्धतीने छेदते. गाउसचा वर्तुळ-प्रश्न विचारतो की ही विसंगती किती मोठी होऊ शकते.

शोधनिबंधाच्या संकेतनात, चकती a² + b² ≤ X आहे, जिथे X म्हणजे त्रिज्येचा वर्ग, म्हणून तिचे क्षेत्रफळ πX आहे. विसंगती अशी आहे

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— आतील जाळी-बिंदूंची (a, b) संख्या, वजा क्षेत्रफळ. खालील सर्व घातांक, शोधनिबंधाप्रमाणेच, X चे घात आहेत.

परिघापासून अटकळीपर्यंत

गाउसचा भौमितिक युक्तिवाद E(X) = O(X^{1/2}) देतो: त्रुटी जास्तीत जास्त त्रिज्येच्या क्रमाची असते, म्हणजे साधारण वर्तुळाच्या सीमेएवढी. ही सोपी मर्यादा आहे.

दुसऱ्या टोकाला, हार्डी (Hardy) यांनी सिद्ध केले की त्रुटी दोन्ही दिशांना सतत झोके घेत X^{1/4} च्या क्रमाच्या मूल्यांपर्यंत पोहोचते — म्हणून 1/4 पेक्षा कमी घातांक असलेली कोणतीही मर्यादा टिकू शकत नाही. अपेक्षित उत्तर, ज्याला शोधनिबंध हार्डीची अटकळ म्हणतो, असे आहे की 1/4 मूलतः बरोबर आहे: प्रत्येक ε > 0 साठी |E(X)| ≲ X^{1/4+ε}, जिथे ε म्हणजे कोणत्याही ठरावीक घातापेक्षा लहान तोटा.

तेव्हापासूनचे सगळे म्हणजे 1/2 आणि 1/4 यांमधील घातांकासाठीची लढाई. शोधनिबंधातील इतिहास-तक्ता हे टप्पे नोंदवतो: 1906 मध्ये सिएरपिन्स्की (Sierpiński) 1/3 सह, फान डेर कॉर्पुट (van der Corput), टिचमार्श (Titchmarsh), हुआ (Hua), चेन (Chen), कोलेस्निक (Kolesnik), 1988 मध्ये इवानिएत्स (Iwaniec) आणि मोझोकी (Mozzochi) 7/22 सह, 1993 मध्ये हक्सली (Huxley) 23/73 सह आणि 2003 मध्ये 131/416 (सुमारे 0.3149) सह, मग 2023 च्या एका प्रीप्रिंटमध्ये ली (Li) आणि यांग (Yang) 0.3144831759… सह.

5/16 चा उंबरठा

त्या प्रगतीपैकी बरीचशी बॉम्बिएरी (Bombieri) आणि इवानिएत्स यांनी उभारलेल्या, आणि इवानिएत्स व मोझोकी यांनी वर्तुळासाठी जुळवून घेतलेल्या तंत्रातून आली. ते प्रश्नाचे रूपांतर घातांकीय बेरजांवरील (exponential sums) अंदाजांमध्ये करते, जे दोन “अंतर” (spacing) प्रश्नांपर्यंत येतात: ठरावीक परिमेय अंदाज किती वेळा एकमेकांजवळ पडतात हे मोजणे. हक्सलीने ही पद्धत सर्वांत पुढे नेली, आणि 1993 मध्ये 5/16 = 0.3125 हे त्या वेळच्या बॉम्बिएरी–इवानिएत्स पद्धतीची संभाव्य मर्यादा म्हणून सुचवले. हार्मोनिक विश्लेषणातील एक अलीकडचे साधन — गुथ (Guth) आणि माल्डाग (Maldague) यांचे “स्मॉल कॅप डीकपलिंग” प्रमेय — आणून मिळवलेला ली आणि यांग यांचा विक्रम अजूनही त्याच्या वरच होता.

शी त्सेन (Xi Cen, चायना युनिव्हर्सिटी ऑफ मायनिंग अँड टेक्नॉलॉजी-बीजिंग), शीताओ गाओ (Xitao Gao) आणि जुनयोंग झांग (Junyong Zhang, बीजिंग इन्स्टिट्यूट ऑफ टेक्नॉलॉजी) आणि चेंग झांग (Cheng Zhang, याउ मॅथेमॅटिकल सायन्सेस सेंटर, त्सिंगहुआ विद्यापीठ) आता सिद्ध करतात:

प्रमेय 1.1. प्रत्येक ε > 0 आणि प्रत्येक वास्तव संख्या X ≥ 4 साठी, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.

आणि हे रेषेच्या किती खाली येते हे ते नेमके स्पष्ट करतात:

209/670 = 5/16 − 3/5360

म्हणजे सुमारे 0.31194 — ली आणि यांग यांच्यापेक्षा 0.0025 ची सुधारणा. आकाराने लहान, पण एका संपूर्ण दृष्टिकोनासाठी खूण ठरलेल्या मूल्याच्या पलीकडच्या बाजूला.

दोन सुधारणा, दोन कक्षा

सिद्धता उरलेल्या घटकांना दोन कक्षांमध्ये विभागते, ज्या नेमक्या त्या बिंदूवर भेटतात जिथे दोन्ही 209/670 देतात.

मधल्या कक्षेत, लेखक एका कलेचा (phase) सहाव्या क्रमापर्यंत विस्तार करतात आणि व्हिनोग्राडोव्हचे मध्यमूल्य प्रमेय वापरून सर्व काही अशा बिंदू-जोड्या मोजण्यापर्यंत आणतात ज्यांचे चौथे, पाचवे आणि सहावे टेलर गुणांक जुळतात. निर्णायक टप्पा म्हणजे त्या अटी स्पष्टपणे सोडवणे: रेषीय त्रुटी रद्द होते, आणि उरते ती द्विघाती त्रुटी, जी फूरिए विस्तार आणि रॉबेर (Robert) व सार्गोस (Sargos) यांच्या अंतर-अंदाजांनी हाताळता येईल इतकी लहान असते. जोड्यांची संख्या, कितीही लहान तोटे सोडले तर, क्षुल्लक “कर्णीय” जोड्यांइतकीच लहान येते.

मोठ्या कक्षेत, नवा घटक म्हणजे अशा घातांकीय बेरजांसाठीचा वितरण-अंदाज ज्यांच्या वारंवारता एका शंकूवर असतात; तो गुथ आणि माल्डाग यांच्या आयामावर अवलंबून असलेल्या अंदाजातून काढलेला आहे. तो दोन पदे निर्माण करतो, एक चौथ्या घाताचे आणि एक सहाव्या घाताचे. आधी त्यांना एकाच मोमेंट-अंदाजात विलीन करण्याऐवजी, दुहेरी मोठ्या चाळणीतून (double large sieve) त्यांना स्वतंत्र ठेवणे हेच फलदायी ठरते. शोधनिबंधानुसार, हे दुसरा मुख्य घटक असलेल्या वॉट (Watt) यांच्या दुसऱ्या अंतर-मर्यादेला बळकट न करताही चालते.

1/4 पर्यंत अजून बरेच अंतर

नवा घातांक, 0.3119, अजूनही अटकळीतील 0.25 पासून दूर आहे. शोधनिबंध प्रश्नाच्या दुसऱ्या बाजूचाही आढावा घेतो — त्रुटी किती मोठी होते हे ज्ञात आहे — जिथे साउंडरराजन (Soundararajan), लामझूरी (Lamzouri) आणि इतरांचे निकाल तिचे सर्वांत मोठे झोके अधिकाधिक अचूकपणे निश्चित करतात.

हे काम 34 पानांचे प्रीप्रिंट आहे. लेखक नमूद करतात की त्यांनी सिद्धतेच्या रणनीतींवर चर्चा करण्यासाठी, युक्तिवादांच्या काही भागांचा मसुदा तयार करण्यासाठी व तपासण्यासाठी आणि संदर्भ व्यवस्थित लावण्यासाठी ChatGPT आणि Codex वापरले, आणि प्रत्येक विधान व सिद्धता त्यांनी स्वतः लिहिली, पुनरावलोकन केली आणि पडताळली. गाउसच्या बिंदू-जाळीसाठी, त्रुटी सुमारे X^{0.312} पेक्षा वेगाने वाढत नाही हे आता ज्ञात आहे — आणि तत्त्वतः X^{0.25} पर्यंत खाली जाण्यास वाव शिल्लक आहे.