BÀI TOÁN ĐƯỜNG TRÒN GAUSS TRƯỢT XUỐNG DƯỚI 5/16

Lấy một đường tròn có tâm tại một điểm lưới trên một tờ giấy kẻ ô vô hạn và đếm các giao điểm rơi vào bên trong nó. Kết quả gần với diện tích của đường tròn — nhưng không bao giờ bằng nó, vì đường biên cắt qua lưới một cách không đều. Bài toán đường tròn Gauss hỏi độ chênh lệch đó có thể lớn đến mức nào.

Theo ký hiệu của bài báo, hình tròn là a² + b² ≤ X, trong đó X là bình phương bán kính, nên diện tích của nó là πX. Độ chênh lệch là

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— số điểm lưới (a, b) bên trong, trừ đi diện tích. Tất cả các số mũ dưới đây đều là lũy thừa của X, như trong bài báo.

Từ chu vi đến giả thuyết

Lập luận hình học của Gauss cho E(X) = O(X^{1/2}): sai số nhiều nhất cỡ bán kính, gần bằng kích thước đường biên của hình tròn. Đó là cận dễ.

Ở đầu bên kia, Hardy đã chứng minh rằng sai số liên tục dao động, theo cả hai chiều, tới những giá trị cỡ X^{1/4} — nên không cận nào có số mũ dưới 1/4 có thể đúng. Câu trả lời được kỳ vọng, mà bài báo gọi là giả thuyết Hardy, là 1/4 về cơ bản là đúng: |E(X)| ≲ X^{1/4+ε} với mọi ε > 0, trong đó ε biểu thị một mất mát nhỏ hơn bất kỳ lũy thừa cố định nào.

Mọi thứ kể từ đó là một cuộc chiến giành số mũ nằm giữa 1/2 và 1/4. Bảng lịch sử của bài báo liệt kê các bước: Sierpiński năm 1906 với 1/3, van der Corput, Titchmarsh, Hua, Chen, Kolesnik, Iwaniec và Mozzochi với 7/22 năm 1988, Huxley với 23/73 năm 1993 và 131/416 (khoảng 0,3149) năm 2003, rồi Li và Yang, trong một bản tiền ấn phẩm năm 2023, với 0,3144831759…

Ngưỡng 5/16

Phần lớn tiến bộ đó đến từ một kỹ thuật do Bombieri và Iwaniec xây dựng và được Iwaniec và Mozzochi điều chỉnh cho đường tròn. Nó biến bài toán thành các ước lượng về tổng mũ, vốn quy về hai bài toán “khoảng cách” (spacing): đếm xem các xấp xỉ hữu tỉ nhất định thường rơi gần nhau đến mức nào. Huxley đã đẩy phương pháp này xa nhất, và năm 1993 gợi ý 5/16 = 0,3125 là giới hạn khả dĩ của phương pháp Bombieri–Iwaniec như nó tồn tại khi đó. Kỷ lục của Li và Yang, đạt được nhờ đưa vào một công cụ mới của giải tích điều hòa — định lý “tách rời mũ nhỏ” (small cap decoupling) của Guth và Maldague — vẫn nằm trên ngưỡng đó.

Xi Cen (Đại học Khai khoáng và Công nghệ Trung Quốc – Bắc Kinh), Xitao Gao và Junyong Zhang (Học viện Công nghệ Bắc Kinh) và Cheng Zhang (Trung tâm Khoa học Toán học Yau, Đại học Thanh Hoa) nay chứng minh:

Định lý 1.1. Với mọi ε > 0 và mọi số thực X ≥ 4, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.

Và họ nêu rõ kết quả này nằm dưới vạch bao xa:

209/670 = 5/16 − 3/5360

Tức khoảng 0,31194 — cải thiện 0,0025 so với Li và Yang. Nhỏ về độ lớn, nhưng nằm ở phía bên kia của một giá trị từng là cột mốc cho cả một hướng tiếp cận.

Hai cải tiến, hai miền

Chứng minh chia các tham số còn lại thành hai miền, gặp nhau đúng tại điểm mà cả hai đều cho 209/670.

Ở miền giữa, các tác giả khai triển một pha đến bậc sáu và dùng định lý giá trị trung bình Vinogradov để quy mọi thứ về việc đếm các cặp điểm trùng nhau ở hệ số Taylor bậc bốn, bậc năm và bậc sáu. Bước then chốt là giải tường minh các ràng buộc đó: sai số tuyến tính triệt tiêu, chỉ còn một sai số bậc hai đủ nhỏ để xử lý bằng khai triển Fourier và các ước lượng khoảng cách của Robert và Sargos. Số cặp hóa ra nhỏ ngang với số cặp “đường chéo” tầm thường, sai khác những mất mát nhỏ tùy ý.

Ở miền lớn hơn, thành phần mới là một ước lượng phân bố cho các tổng mũ có tần số nằm trên một mặt nón, suy ra từ một ước lượng phụ thuộc biên độ của Guth và Maldague. Nó tạo ra hai số hạng, một với lũy thừa bậc bốn và một với lũy thừa bậc sáu. Giữ chúng tách biệt qua sàng lớn kép (double large sieve), thay vì gộp chúng thành một ước lượng mômen duy nhất ngay từ đầu, mới là điều mang lại kết quả. Theo bài báo, cách này hiệu quả mà không cần tăng cường cận khoảng cách thứ hai của Watt, đầu vào chính còn lại.

Vẫn còn xa mới tới 1/4

Số mũ mới, 0,3119, vẫn còn xa giá trị 0,25 theo giả thuyết. Bài báo cũng điểm qua mặt bên kia của bài toán — sai số được biết là có thể lớn đến đâu — nơi các kết quả của Soundararajan, Lamzouri và những người khác xác định những dao động lớn nhất của nó ngày càng chính xác hơn.

Công trình là một bản tiền ấn phẩm dài 34 trang. Các tác giả cho biết họ đã dùng ChatGPT và Codex để thảo luận chiến lược chứng minh, hỗ trợ soạn thảo và kiểm tra một số phần lập luận và sắp xếp tài liệu tham khảo, và rằng mọi phát biểu và chứng minh đều do chính họ viết, rà soát và xác minh. Với lưới điểm của Gauss, giờ đây người ta biết sai số tăng không nhanh hơn khoảng X^{0.312} — và về nguyên tắc vẫn còn chỗ để hạ xuống tận X^{0.25}.