گاؤس دا دائرے والا مسئلہ 5/16 توں تھلے کھسک گیا

خانیاں والے اک بے انت کاغذ اُتے کسے گرڈ نقطے نوں مرکز بنا کے اک دائرہ لؤ تے اوہدے اندر آن والے کراسنگ نقطے گنو۔ جواب دائرے دے رقبے دے نیڑے ہوندا اے — پر کدی اوہدے برابر نہیں، کیوں جے کنڈا گرڈ نوں بے ترتیبی نال کٹدا اے۔ گاؤس دا دائرے والا مسئلہ پچھدا اے پئی ایہہ بے میلی کنی وڈی ہو سکدی اے۔

مقالے دی علامتاں وچ، ٹکی a² + b² ≤ X اے، جتھے X نصف قطر دا مربع اے، ایس لئی اوہدا رقبہ πX اے۔ بے میلی ایہہ اے

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— اندر دے گرڈ نقطیاں (a, b) دی گنتی، منفی رقبہ۔ تھلے دتے سارے قوت نما X دیاں طاقتاں نیں، جیویں مقالے وچ۔

گھیرے توں قیاس تیک

گاؤس دی جیومیٹری والی دلیل E(X) = O(X^{1/2}) دیندی اے: غلطی ودھ توں ودھ نصف قطر دے درجے دی اے، موٹے طور تے دائرے دی حد جنی۔ ایہہ سوکھی حد اے۔

دوجے سرے اُتے، Hardy نے ثابت کیتا پئی غلطی دونویں پاسیاں ول، X^{1/4} دے درجے دے مُلاں تیک، جھولدی رہندی اے — ایس لئی 1/4 توں گھٹ قوت نما والی کوئی حد سچی نہیں ہو سکدی۔ متوقع جواب، جیہنوں مقالہ Hardy دا قیاس (Hardy’s conjecture) آکھدا اے، ایہہ اے پئی 1/4 بنیادی طور تے ٹھیک اے: ہر ε > 0 لئی |E(X)| ≲ X^{1/4+ε}، جتھے ε دا مطلب اوہ گھاٹا اے جیہڑا کسے وی مقررہ طاقت توں نکا اے۔

اوس مگروں سب کجھ 1/2 تے 1/4 وچکار قوت نما اُتے لڑائی رہی اے۔ مقالے دا تریخی جدول قدم گنواندا اے: 1906 وچ Sierpiński، 1/3 نال؛ van der Corput، Titchmarsh، Hua، Chen، Kolesnik؛ 1988 وچ Iwaniec تے Mozzochi، 7/22 نال؛ Huxley، 1993 وچ 23/73 تے 2003 وچ 131/416 (لگ بھگ 0.3149) نال؛ فیر Li تے Yang، 2023 دے اک پری پرنٹ وچ، 0.3144831759… نال۔

5/16 والی دہلیز

ایس ترقی دا بہتا حصہ اک تکنیک توں آیا جیہڑی Bombieri تے Iwaniec نے بنائی تے Iwaniec تے Mozzochi نے دائرے لئی ڈھالی۔ ایہہ مسئلے نوں ایکسپوننشل جوڑاں (exponential sums) اُتے اندازیاں وچ بدلدی اے، جیہڑے دو “وتھ” (spacing) والے مسئلیاں تیک گھٹ جاندے نیں: ایہہ گننا پئی کجھ خاص ناطق تخمینے کنی واری اک دوجے دے نیڑے آندے نیں۔ Huxley نے ایس طریقے نوں سب توں اگے دھکیا، تے 1993 وچ 5/16 = 0.3125 نوں Bombieri–Iwaniec طریقے دی، جیویں اوہ اوس ویلے سی، ممکنہ حد دسیا۔ Li تے Yang دا ریکارڈ، جیہڑا ہارمونک تجزیے دا اک نواں اوزار — Guth تے Maldague دا “small cap decoupling” مسئلہ — لیا کے حاصل ہویا، ہلے وی اوہدے اُتے سی۔

Xi Cen (چائنا یونیورسٹی آف مائننگ اینڈ ٹیکنالوجی-بیجنگ)، Xitao Gao تے Junyong Zhang (بیجنگ انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی) تے Cheng Zhang (یاؤ میتھمیٹیکل سائنسز سینٹر، سنگھوا یونیورسٹی) ہن ثابت کردے نیں:

مسئلہ 1.1۔ ہر ε > 0 تے ہر حقیقی X ≥ 4 لئی، |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}۔

تے اوہ ٹھیک ٹھیک دسدے نیں پئی ایہہ لکیر توں کنا تھلے اے:

209/670 = 5/16 − 3/5360

ایہہ لگ بھگ 0.31194 اے — Li تے Yang اُتے 0.0025 دا فائدہ۔ ناپ وچ نکا، پر اوس مُل دے دوجے پاسے جیہڑا اک پورے طریقے لئی نشان دا کم کردا رہیا سی۔

دو سدھاراں، دو دائرے

ثبوت باقی پیمانیاں نوں دو دائریاں وچ ونڈدا اے، جیہڑے عین اوس نقطے اُتے ملدے نیں جتھے دونویں 209/670 دیندے نیں۔

درمیانے دائرے وچ، لکھاری اک فیز نوں چھیویں درجے تیک کھلاردے نیں تے Vinogradov دے اوسط مُل والے مسئلے نال سب کجھ نقطیاں دے اوہناں جوڑیاں دی گنتی تیک گھٹا دیندے نیں جیہڑے اپنے چوتھے، پنجویں تے چھیویں Taylor عددی سراں وچ اکو جیہے ہون۔ مکھ قدم ایہناں شرطاں نوں کھل کے حل کرنا اے: لکیری غلطی کٹ جاندی اے، تے پچھے اک مربعی غلطی رہ جاندی اے جیہڑی اینی نکی اے پئی Fourier پھیلاؤ تے Robert تے Sargos دے وتھ والے اندازیاں نال سنبھالی جا سکے۔ جوڑیاں دی گنتی معمولی “ڈائیگونل” جوڑیاں جنی نکی نکلدی اے، جنے مرضی نکے گھاٹیاں تیک۔

وڈے دائرے وچ، نواں جزو اوہناں ایکسپوننشل جوڑاں لئی اک ونڈ والا اندازہ اے جنہاں دیاں فریکوئنسیاں اک مخروط (cone) اُتے نیں، جیہڑا Guth تے Maldague دے اک ایمپلیٹیوڈ اُتے منحصر اندازے توں کڈھیا گیا۔ ایہہ دو حد (terms) دیندا اے، اک چوتھی طاقت نال تے اک چھیویں طاقت نال۔ اوہناں نوں پہلاں اک مومنٹ اندازے وچ رلان دی تھاں ڈبل لارج سیو (double large sieve) وچوں وکھرا رکھنا ای فائدہ دیندا اے۔ مقالے مطابق، ایہہ Watt دی دوجی وتھ والی حد، یعنی دوجی مکھ ان پٹ، نوں تکڑا کیتے بغیر کم کردا اے۔

1/4 تیک ہلے لما رستہ

نواں قوت نما، 0.3119، ہلے وی قیاس کیتے 0.25 توں دور اے۔ مقالہ مسئلے دے دوجے پاسے دا وی جائزہ لیندا اے — غلطی دے کنا وڈا ہون دا پتہ اے — جتھے Soundararajan، Lamzouri تے ہوراں دے نتیجے اوہدے سب توں وڈے جھولیاں نوں ودھ توں ودھ ٹھیک ٹھیک مقرر کردے نیں۔

کم 34 صفحیاں دا اک پری پرنٹ اے۔ لکھاری دسدے نیں پئی اوہناں نے ثبوت دیاں حکمت عملیاں اُتے گل بات، دلیلاں دے حصیاں دا مسودہ بنان تے جانچن وچ مدد، تے حوالیاں نوں ترتیب دین لئی ChatGPT تے Codex ورتے، تے ایہہ پئی ہر بیان تے ثبوت اوہناں نے آپ لکھیا، ویکھیا تے تصدیق کیتا۔ گاؤس دے نقطیاں والے گرڈ لئی، ہن پتہ اے پئی غلطی لگ بھگ X^{0.312} توں تیز نہیں ودھدی — اصولی طور تے X^{0.25} تیک گنجائش باقی رکھدے ہوئے۔