గాస్ వృత్త సమస్య 5/16 కిందికి జారింది

అనంతమైన గడుల కాగితంపై ఒక గ్రిడ్ బిందువు కేంద్రంగా ఒక వృత్తాన్ని తీసుకుని, దాని లోపల పడే ఖండన బిందువులను లెక్కించండి. జవాబు వృత్త వైశాల్యానికి దగ్గరగా ఉంటుంది — కానీ ఎప్పుడూ దానికి సమానం కాదు, ఎందుకంటే అంచు గ్రిడ్‌ను క్రమరహితంగా ఖండిస్తుంది. ఆ అసమతుల్యత ఎంత పెద్దది కావచ్చో గాస్ వృత్త సమస్య అడుగుతుంది.

పత్రంలోని సంకేతాల్లో, బిళ్ల a² + b² ≤ X, ఇక్కడ X అంటే వ్యాసార్ధపు వర్గం, కాబట్టి దాని వైశాల్యం πX. అసమతుల్యత

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— లోపల ఉన్న గ్రిడ్ బిందువుల (a, b) సంఖ్య, వైశాల్యాన్ని తీసివేస్తే. కింద ఉన్న అన్ని ఘాతాంకాలూ, పత్రంలో లాగే, X యొక్క ఘాతాలు.

చుట్టుకొలత నుంచి ఊహ వరకు

గాస్ జ్యామితీయ వాదన E(X) = O(X^{1/2}) ఇస్తుంది: దోషం గరిష్ఠంగా వ్యాసార్ధపు క్రమంలో ఉంటుంది, సుమారుగా వృత్త సరిహద్దు పరిమాణం. ఇది సులువైన హద్దు.

మరో వైపు, దోషం రెండు దిశల్లోనూ ఊగుతూ, X^{1/4} క్రమంలోని విలువలకు చేరుతూనే ఉంటుందని హార్డీ (Hardy) నిరూపించాడు — కాబట్టి 1/4 కంటే తక్కువ ఘాతాంకం ఉన్న ఏ హద్దూ నిలవదు. ఆశించిన జవాబు, పత్రం దీన్ని హార్డీ ఊహ అని పిలుస్తుంది, 1/4 ప్రాథమికంగా సరైనదే అని: ప్రతి ε > 0 కి |E(X)| ≲ X^{1/4+ε}, ఇక్కడ ε అంటే ఏ స్థిర ఘాతం కంటేనైనా చిన్న నష్టం.

అప్పటి నుంచి జరిగినదంతా 1/2, 1/4 మధ్య ఘాతాంకం కోసం పోరాటమే. పత్రంలోని చరిత్ర పట్టిక అడుగులను జాబితా చేస్తుంది: 1906లో సియెర్పిన్‌స్కీ (Sierpiński) 1/3 తో, వాన్ డెర్ కార్పుట్ (van der Corput), టిచ్‌మార్ష్ (Titchmarsh), హువా (Hua), చెన్ (Chen), కొలెస్నిక్ (Kolesnik), 1988లో ఇవానియెక్ (Iwaniec), మోజోకీ (Mozzochi) 7/22 తో, 1993లో హక్స్లీ (Huxley) 23/73 తో, 2003లో 131/416 (సుమారు 0.3149) తో, తర్వాత 2023 ప్రీప్రింట్‌లో లీ (Li), యాంగ్ (Yang) 0.3144831759… తో.

5/16 వద్ద ప్రవేశ ద్వారం

ఆ పురోగతిలో చాలా భాగం బొంబియెరీ (Bombieri), ఇవానియెక్ నిర్మించి, ఇవానియెక్, మోజోకీ వృత్తానికి అనువర్తించిన ఒక సాంకేతికత నుంచి వచ్చింది. అది సమస్యను ఘాతీయ మొత్తాలపై (exponential sums) అంచనాలుగా మారుస్తుంది, అవి రెండు “అంతరాల” (spacing) సమస్యలకు దిగుతాయి: కొన్ని అకరణీయ సన్నికర్షణలు ఎంత తరచుగా ఒకదానికొకటి దగ్గరగా పడతాయో లెక్కించడం. హక్స్లీ ఈ పద్ధతిని అత్యంత దూరం నెట్టాడు, 1993లో అప్పటి బొంబియెరీ–ఇవానియెక్ పద్ధతికి సాధ్యమైన పరిమితిగా 5/16 = 0.3125 ని సూచించాడు. హార్మోనిక్ విశ్లేషణ నుంచి ఒక ఇటీవలి సాధనాన్ని — గుత్ (Guth), మాల్డాగ్ (Maldague) ల “స్మాల్ క్యాప్ డీకప్లింగ్” సిద్ధాంతాన్ని — తీసుకొచ్చి సాధించిన లీ, యాంగ్ రికార్డు ఇంకా దాని పైనే ఉంది.

శీ సెన్ (Xi Cen, చైనా యూనివర్సిటీ ఆఫ్ మైనింగ్ అండ్ టెక్నాలజీ-బీజింగ్), శీటావో గావో (Xitao Gao), జున్‌యోంగ్ జాంగ్ (Junyong Zhang, బీజింగ్ ఇన్‌స్టిట్యూట్ ఆఫ్ టెక్నాలజీ), చెంగ్ జాంగ్ (Cheng Zhang, యావ్ మేథమెటికల్ సైన్సెస్ సెంటర్, సింఘువా విశ్వవిద్యాలయం) ఇప్పుడు నిరూపిస్తున్నారు:

సిద్ధాంతం 1.1. ప్రతి ε > 0 కి, ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య X ≥ 4 కి, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.

అది రేఖకు ఎంత కింద పడుతుందో వారు ఖచ్చితంగా చెబుతారు:

209/670 = 5/16 − 3/5360

అంటే సుమారు 0.31194 — లీ, యాంగ్ కంటే 0.0025 లాభం. పరిమాణంలో చిన్నది, కానీ ఒక మొత్తం విధానానికి గుర్తుగా ఉన్న విలువకు అవతలి వైపు.

రెండు మెరుగుదలలు, రెండు పరిధులు

నిరూపణ మిగిలిన పరామితులను రెండు పరిధులుగా విభజిస్తుంది, అవి రెండూ 209/670 ఇచ్చే బిందువు వద్దే సరిగ్గా కలుస్తాయి.

మధ్య పరిధిలో, రచయితలు ఒక ఫేజ్‌ను ఆరో క్రమం వరకు విస్తరించి, వినోగ్రాడోవ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, అంతటినీ తమ నాలుగో, ఐదో, ఆరో టేలర్ గుణకాల్లో ఏకీభవించే బిందువుల జతలను లెక్కించే సమస్యగా కుదిస్తారు. కీలక దశ ఆ నిబంధనలను స్పష్టంగా పరిష్కరించడం: రేఖీయ దోషం రద్దవుతుంది, ఫోరియర్ విస్తరణ, రాబేర్ (Robert), సార్గోస్ (Sargos) ల అంతర అంచనాలతో నిర్వహించగలిగేంత చిన్న వర్గ దోషం మిగులుతుంది. జతల సంఖ్య, ఏకపక్షంగా చిన్న నష్టాలను మినహాయిస్తే, సామాన్య “కర్ణ” జతలంత చిన్నదిగా వస్తుంది.

పెద్ద పరిధిలో, కొత్త పదార్థం పౌనఃపున్యాలు ఒక శంకువుపై ఉండే ఘాతీయ మొత్తాలకు ఒక పంపిణీ అంచనా, ఇది గుత్, మాల్డాగ్ ల కంపన పరిమితిపై ఆధారపడే అంచనా నుంచి రాబట్టినది. ఇది రెండు పదాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది, ఒకటి నాలుగో ఘాతంతో, ఒకటి ఆరో ఘాతంతో. వాటిని ముందే ఒకే మొమెంట్ అంచనాగా కలిపేయకుండా, ద్వంద్వ పెద్ద జల్లెడ (double large sieve) గుండా విడివిడిగా ఉంచడమే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది. పత్రం ప్రకారం, ఇది మరో ప్రధాన పదార్థమైన వాట్ (Watt) రెండో అంతర హద్దును బలపరచకుండానే పనిచేస్తుంది.

1/4 కి ఇంకా చాలా దూరం

కొత్త ఘాతాంకం, 0.3119, ఊహించిన 0.25 కి ఇంకా దూరంగానే ఉంది. పత్రం సమస్య యొక్క మరో వైపును కూడా సమీక్షిస్తుంది — దోషం ఎంత పెద్దది అవుతుందని తెలుసు — అక్కడ సౌందరరాజన్ (Soundararajan), లామ్జూరీ (Lamzouri) తదితరుల ఫలితాలు దాని అతిపెద్ద ఊగిసలాటలను మరింత ఖచ్చితంగా నిర్ధారిస్తున్నాయి.

ఈ పరిశోధన 34 పేజీల ప్రీప్రింట్. నిరూపణ వ్యూహాలను చర్చించడానికి, వాదనల్లోని భాగాల ముసాయిదా తయారీకి, తనిఖీకి సహాయపడటానికి, ఉల్లేఖనాలను క్రమబద్ధీకరించడానికి తాము ChatGPT, Codex లను ఉపయోగించామని, ప్రతి ప్రకటననూ నిరూపణనూ తామే రాసి, సమీక్షించి, ధృవీకరించామని రచయితలు పేర్కొంటారు. గాస్ బిందువుల గ్రిడ్‌కు, దోషం సుమారు X^{0.312} కంటే వేగంగా పెరగదని ఇప్పుడు తెలుసు — సూత్రప్రాయంగా, X^{0.25} వరకు దిగడానికి ఇంకా అవకాశం మిగిలే ఉంది.