LE PROBLÈME DU CERCLE DE GAUSS PASSE SOUS 5/16

Prenez un cercle centré sur un nœud d’une feuille quadrillée infinie et comptez les nœuds qui tombent à l’intérieur. Le résultat est proche de l’aire du cercle — mais jamais égal, car le bord coupe le quadrillage de façon irrégulière. Le problème du cercle de Gauss demande jusqu’où ce décalage peut aller.

Dans la notation de l’article, le disque est a² + b² ≤ X, où X est le carré du rayon ; son aire vaut donc πX. Le décalage s’écrit

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— le nombre de nœuds (a, b) à l’intérieur, moins l’aire. Tous les exposants qui suivent sont des puissances de X, comme dans l’article.

Du périmètre à la conjecture

L’argument géométrique de Gauss donne E(X) = O(X^{1/2}) : l’erreur est au plus de l’ordre du rayon, à peu près la taille du bord du cercle. C’est la borne facile.

À l’autre bout, Hardy a démontré que l’erreur continue d’osciller, dans les deux sens, jusqu’à des valeurs de l’ordre de X^{1/4} — aucune borne avec un exposant inférieur à 1/4 ne peut donc tenir. La réponse attendue, que l’article appelle conjecture de Hardy, est que 1/4 est essentiellement juste : |E(X)| ≲ X^{1/4+ε} pour tout ε > 0, le ε désignant une perte plus petite que n’importe quelle puissance fixée.

Tout ce qui a suivi est une bataille sur l’exposant, entre 1/2 et 1/4. Le tableau historique de l’article en donne les étapes : Sierpiński en 1906 avec 1/3, van der Corput, Titchmarsh, Hua, Chen, Kolesnik, Iwaniec et Mozzochi avec 7/22 en 1988, Huxley avec 23/73 en 1993 et 131/416 (environ 0,3149) en 2003, puis Li et Yang, dans un preprint de 2023, avec 0,3144831759…

Le seuil de 5/16

Une bonne part de ces progrès vient d’une technique construite par Bombieri et Iwaniec et adaptée au cercle par Iwaniec et Mozzochi. Elle transforme le problème en estimations de sommes exponentielles, qui se ramènent à deux problèmes d’« espacement » : compter combien de fois certaines approximations rationnelles tombent près les unes des autres. Huxley a poussé cette méthode le plus loin et, en 1993, a suggéré 5/16 = 0,3125 comme limite possible de la méthode de Bombieri–Iwaniec telle qu’elle existait alors. Le record de Li et Yang, obtenu en important un outil récent d’analyse harmonique — le théorème de « découplage à petits chapeaux » de Guth et Maldague —, restait au-dessus.

Xi Cen (China University of Mining and Technology-Beijing), Xitao Gao et Junyong Zhang (Institut de technologie de Pékin) et Cheng Zhang (Yau Mathematical Sciences Center, université Tsinghua) démontrent maintenant :

Théorème 1.1. Pour tout ε > 0 et tout réel X ≥ 4, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.

Et ils écrivent exactement de combien on passe sous la ligne :

209/670 = 5/16 − 3/5360

Soit environ 0,31194 — un gain de 0,0025 sur Li et Yang. Petit en taille, mais de l’autre côté d’une valeur qui servait de repère à toute une approche.

Deux raffinements, deux zones

La preuve partage les paramètres restants en deux zones, qui se raccordent exactement au point où toutes deux donnent 209/670.

Dans la zone du milieu, les auteurs développent une phase jusqu’à l’ordre six et utilisent le théorème de la valeur moyenne de Vinogradov pour tout ramener à un comptage de paires de points dont les quatrième, cinquième et sixième coefficients de Taylor coïncident. L’étape clé consiste à résoudre ces contraintes explicitement : l’erreur linéaire s’annule, il ne reste qu’une erreur quadratique assez petite pour être traitée par développement de Fourier et par les estimations d’espacement de Robert et Sargos. Le comptage de paires ne dépasse pas celui des paires « diagonales » triviales, à des pertes arbitrairement petites près.

Dans la zone plus large, l’ingrédient nouveau est une estimation de distribution pour des sommes exponentielles dont les fréquences se trouvent sur un cône, tirée d’une estimation de Guth et Maldague qui dépend de l’amplitude. Elle produit deux termes, l’un en puissance quatre, l’autre en puissance six. Les garder séparés à travers le double grand crible, au lieu de les fondre d’abord en une seule estimation de moment, est ce qui fait la différence. D’après l’article, cela fonctionne sans renforcer la borne de second espacement de Watt, l’autre ingrédient principal.

Encore loin de 1/4

Le nouvel exposant, 0,3119, reste loin du 0,25 conjecturé. L’article passe aussi en revue l’autre face du problème — jusqu’où l’erreur est connue pour monter —, où les résultats de Soundararajan, de Lamzouri et d’autres cernent toujours plus précisément ses plus grandes oscillations.

Le travail est un preprint de 34 pages. Les auteurs déclarent avoir utilisé ChatGPT et Codex pour discuter de stratégies de preuve, aider à rédiger et vérifier certaines parties des arguments et organiser les références, et avoir eux-mêmes écrit, relu et vérifié chaque énoncé et chaque preuve. Pour le quadrillage de Gauss, on sait désormais que l’erreur ne croît pas plus vite qu’environ X^{0,312} — avec, en principe, de la marge jusqu’à X^{0,25}.