ЗАДАЧА ГАУССА О КРУГЕ ОПУСТИЛАСЬ НИЖЕ 5/16

Возьмите круг с центром в узле бесконечного листа клетчатой бумаги и пересчитайте пересечения линий, попавшие внутрь. Ответ близок к площади круга — но никогда ей не равен, потому что граница режет сетку нерегулярно. Задача Гаусса о круге спрашивает, насколько велико может быть это расхождение.

В обозначениях статьи круг задаётся как a² + b² ≤ X, где X — квадрат радиуса, так что его площадь равна πX. Расхождение равно

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— число узлов решётки (a, b) внутри минус площадь. Все показатели ниже — степени X, как в статье.

От длины окружности к гипотезе

Геометрическое рассуждение Гаусса даёт E(X) = O(X^{1/2}): ошибка не превосходит величины порядка радиуса — примерно размера границы круга. Это простая оценка.

С другой стороны, Харди доказал, что ошибка снова и снова колеблется в обе стороны до значений порядка X^{1/4}, — поэтому никакая оценка с показателем ниже 1/4 верной быть не может. Ожидаемый ответ, который в статье называется гипотезой Харди, состоит в том, что 1/4 по существу верно: |E(X)| ≲ X^{1/4+ε} для любого ε > 0, где ε означает потерю меньше любой фиксированной степени.

Всё, что было потом, — борьба за показатель между 1/2 и 1/4. Историческая таблица в статье перечисляет этапы: Серпинский в 1906 году с 1/3, ван дер Корпут, Титчмарш, Хуа, Чэнь, Колесник, Иванец и Моццоки с 7/22 в 1988 году, Хаксли с 23/73 в 1993-м и 131/416 (около 0,3149) в 2003-м, а затем Ли и Ян в препринте 2023 года с 0,3144831759…

Порог 5/16

Значительная часть этого прогресса обеспечена методом, созданным Бомбьери и Иванцем и приспособленным к кругу Иванцем и Моццоки. Он сводит задачу к оценкам экспоненциальных сумм, которые, в свою очередь, сводятся к двум задачам о «расстояниях»: подсчёту того, как часто определённые рациональные приближения оказываются близко друг к другу. Хаксли продвинул этот метод дальше всех и в 1993 году предположил, что 5/16 = 0,3125 может быть пределом метода Бомбьери — Иванца в его тогдашнем виде. Рекорд Ли и Яна, полученный с привлечением недавнего инструмента гармонического анализа — теоремы о «декаплинге малых шапочек» (small cap decoupling) Гута и Малдаг, — всё ещё оставался выше этого значения.

Си Цэнь (Китайский горно-технологический университет, Пекин), Ситао Гао и Цзюньюн Чжан (Пекинский технологический институт) и Чэн Чжан (Математический научный центр имени Яу, Университет Цинхуа) теперь доказывают:

Теорема 1.1. Для любого ε > 0 и любого вещественного X ≥ 4 выполнено |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.

И они точно указывают, насколько ниже черты оказался результат:

209/670 = 5/16 − 3/5360

Это около 0,31194 — выигрыш 0,0025 по сравнению с Ли и Яном. Немного по величине, но по другую сторону значения, служившего ориентиром для целого подхода.

Два улучшения, два диапазона

Доказательство разбивает оставшиеся параметры на два диапазона, которые смыкаются ровно в той точке, где оба дают 209/670.

В среднем диапазоне авторы раскладывают фазу до шестого порядка и с помощью теоремы Виноградова о среднем значении сводят всё к подсчёту пар точек, у которых совпадают четвёртый, пятый и шестой коэффициенты Тейлора. Ключевой шаг — явно решить эти ограничения: линейная ошибка сокращается, остаётся квадратичная ошибка, достаточно малая, чтобы справиться с ней с помощью разложения Фурье и оценок расстояний Робера и Саргоса. Число пар получается таким же малым, как число тривиальных «диагональных» пар, с точностью до сколь угодно малых потерь.

В большом диапазоне новый ингредиент — оценка распределения для экспоненциальных сумм, частоты которых лежат на конусе; она выведена из зависящей от амплитуды оценки Гута и Малдаг. Она даёт два слагаемых: одно с четвёртой степенью, другое с шестой. Окупается именно то, что их держат раздельно на протяжении всего двойного большого решета (double large sieve), а не объединяют сначала в одну оценку момента. Согласно статье, это работает без усиления оценки второго расстояния Уотта — второго основного ингредиента.

До 1/4 ещё далеко

Новый показатель, 0,3119, всё ещё далёк от предполагаемого 0,25. Статья также обозревает другую сторону задачи — насколько большой, как известно, бывает ошибка, — где результаты Саундарараджана, Ламзури и других всё точнее определяют её наибольшие колебания.

Работа представляет собой препринт на 34 страницах. Авторы сообщают, что использовали ChatGPT и Codex для обсуждения стратегий доказательства, помощи в написании и проверке частей рассуждений и упорядочения списка литературы, а все утверждения и доказательства были написаны, проверены и верифицированы ими самими. Для решётки Гаусса теперь известно, что ошибка растёт не быстрее, чем примерно X^{0,312}, — а в принципе остаётся запас вплоть до X^{0,25}.