高斯圆问题的指数降到5/16以下

在一张无限大的方格纸上，以某个格点为圆心画一个圆，数一数落在圆内的交叉点。答案接近圆的面积——但永远不会恰好相等，因为圆的边缘以不规则的方式切过网格。高斯圆问题问的是：这种不吻合最大能有多大？

用论文的记号，圆盘为a² + b² ≤ X，其中X是半径的平方，因此面积为πX。不吻合的量为

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

——即圆内格点(a, b)的个数减去面积。下文所有的指数都是X的幂，与论文一致。

从周长到猜想

高斯的几何论证给出E(X) = O(X^{1/2})：误差至多与半径同阶，大致相当于圆周的大小。这是容易得到的上界。

在另一端，哈代（Hardy）证明了误差会在正负两个方向上不断摆动，达到X^{1/4}量级的值——所以指数低于1/4的上界都不可能成立。人们预期的答案，论文称之为哈代猜想，是1/4基本上就是正确答案：对任意ε > 0，都有|E(X)| ≲ X^{1/4+ε}，这里的ε表示一个比任何固定的幂都小的损失。

此后的一切，都是围绕1/2与1/4之间的指数展开的争夺。论文中的历史表格列出了各个步骤：谢尔宾斯基（Sierpiński）在1906年得到1/3，随后是范德科皮特（van der Corput）、蒂奇马什（Titchmarsh）、华罗庚、陈景润、科列斯尼克（Kolesnik），伊瓦涅茨（Iwaniec）和莫佐基（Mozzochi）在1988年得到7/22，赫胥黎在1993年得到23/73、在2003年得到131/416（约0.3149），然后是李（Li）和杨（Yang）在2023年的一篇预印本中得到的0.3144831759…

5/16这道门槛

其中大部分进展来自邦别里（Bombieri）和伊瓦涅茨建立、再由伊瓦涅茨和莫佐基改编用于圆问题的一种技术。它把问题转化为对指数和的估计，进而归结为两个“间距”问题：计算某些有理逼近彼此靠近的频繁程度。赫胥黎把这种方法推进得最远，并在1993年提出5/16 = 0.3125可能是当时形式下邦别里–伊瓦涅茨方法的极限。李和杨借助调和分析中一个较新的工具——古斯（Guth）和马尔达格（Maldague）的“小帽解耦”（small cap decoupling）定理——创下的纪录，仍然在这一数值之上。

中国矿业大学（北京）的Xi Cen、北京理工大学的Xitao Gao和Junyong Zhang，以及清华大学丘成桐数学科学中心的Cheng Zhang，如今证明了：

定理1.1。对任意ε > 0和任意实数X ≥ 4，|E(X)| ≲ X^{209/670+ε}。

他们还明确写出了这个结果落在界线以下多少：

209/670 = 5/16 − 3/5360

约为0.31194——比李和杨的结果改进了0.0025。幅度不大，却越过了一个曾被视为整套方法标志的数值。

两项改进，两个区间

证明把剩余的参数分成两个区间，两者恰好在都给出209/670的那一点交汇。

在中间区间，作者把一个相位展开到六阶，并用维诺格拉多夫中值定理把一切归结为计数这样的点对：它们的第四、第五和第六阶泰勒系数一致。关键一步是显式地求解这些约束：线性误差相互抵消，剩下的二次误差小到可以用傅里叶展开和罗贝尔（Robert）与萨尔戈（Sargos）的间距估计来处理。点对的计数结果与平凡的“对角”点对一样小，只差任意小的损失。

在较大区间，新的要素是对频率位于一个锥面上的指数和的分布估计，它由古斯和马尔达格的一个依赖于振幅的估计推导而来。它产生两项，一项含四次方，一项含六次方。在双重大筛法中让它们保持分离，而不是先把它们合并成单一的矩估计，正是这一点带来了收益。据论文所述，这样做无需加强瓦特（Watt）的第二间距界——另一项主要输入。

距离1/4仍很遥远

新的指数0.3119离猜想的0.25仍然很远。论文还综述了问题的另一面——已知误差最大能达到多大——在这方面，桑德拉拉詹（Soundararajan）、拉姆祖里（Lamzouri）等人的结果越来越精确地刻画了它的最大摆幅。

这项工作是一篇34页的预印本。作者声明，他们使用了ChatGPT和Codex来讨论证明策略、协助起草和检查部分论证以及整理参考文献，并且每一个命题和证明都由他们本人撰写、审阅和验证。对于高斯的格点而言，现在已知误差的增长不快于约X^{0.312}——原则上，还有一路下降到X^{0.25}的空间。