গাউসের বৃত্ত-সমস্যা 5/16-এর নিচে নামল

অসীম একটি ছক কাগজে কোনো গ্রিড বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত নিন এবং তার ভেতরে পড়া ছেদবিন্দুগুলো গুনুন। উত্তরটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের কাছাকাছি — কিন্তু কখনোই সমান নয়, কারণ কিনারাটি গ্রিডকে অনিয়মিতভাবে কাটে। গাউসের বৃত্ত-সমস্যা জানতে চায়, সেই অমিল কত বড় হতে পারে।

গবেষণাপত্রের সংকেতে চাকতিটি হলো a² + b² ≤ X, যেখানে X হলো ব্যাসার্ধের বর্গ, তাই এর ক্ষেত্রফল πX। অমিলটি হলো

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— অর্থাৎ ভেতরের গ্রিড বিন্দু (a, b)-এর সংখ্যা, বিয়োগ ক্ষেত্রফল। নিচের সব সূচক X-এর ঘাত, গবেষণাপত্রের মতোই।

পরিধি থেকে অনুমান পর্যন্ত

গাউসের জ্যামিতিক যুক্তি দেয় E(X) = O(X^{1/2}): ত্রুটি বড়জোর ব্যাসার্ধের ক্রমের, মোটামুটি বৃত্তের সীমারেখার আকারের। এটি সহজ সীমা।

অন্য প্রান্তে হার্ডি (Hardy) প্রমাণ করেছিলেন যে ত্রুটি দুই দিকেই X^{1/4} ক্রমের মান পর্যন্ত দুলতে থাকে — তাই 1/4-এর কম সূচকের কোনো সীমা খাটতে পারে না। প্রত্যাশিত উত্তর, যাকে গবেষণাপত্র হার্ডির অনুমান (Hardy’s conjecture) বলে, হলো 1/4 মূলত সঠিক: প্রতিটি ε > 0-এর জন্য |E(X)| ≲ X^{1/4+ε}, যেখানে ε মানে যেকোনো নির্দিষ্ট ঘাতের চেয়ে ছোট একটি ক্ষতি।

তারপর থেকে সবকিছুই 1/2 আর 1/4-এর মাঝের সূচক নিয়ে লড়াই। গবেষণাপত্রের ইতিহাস-সারণি ধাপগুলো তালিকাভুক্ত করে: 1906 সালে 1/3 নিয়ে সিয়েরপিনস্কি (Sierpiński), তারপর ফান ডের কর্পুট (van der Corput), টিচমার্শ (Titchmarsh), হুয়া (Hua), চেন (Chen), কোলেসনিক (Kolesnik), 1988 সালে 7/22 নিয়ে ইভানিয়েৎস (Iwaniec) ও মোৎসোকি (Mozzochi), 1993 সালে 23/73 এবং 2003 সালে 131/416 (প্রায় 0.3149) নিয়ে হাক্সলি (Huxley), তারপর 2023 সালের একটি প্রিপ্রিন্টে 0.3144831759… নিয়ে লি (Li) ও ইয়াং (Yang)।

5/16-এর চৌকাঠ

সেই অগ্রগতির বড় অংশ এসেছে বোম্বিয়েরি (Bombieri) ও ইভানিয়েৎসের তৈরি এবং ইভানিয়েৎস ও মোৎসোকির হাতে বৃত্তের জন্য রূপান্তরিত একটি কৌশল থেকে। এটি সমস্যাটিকে সূচকীয় যোগফলের (exponential sum) আনুমানিক মানে রূপান্তর করে, যা দুটি “ব্যবধান” (spacing) সমস্যায় নেমে আসে: কিছু মূলদ আসন্নমান কতবার পরস্পরের কাছাকাছি পড়ে, তা গোনা। হাক্সলি এই পদ্ধতিকে সবচেয়ে দূরে নিয়ে গিয়েছিলেন, এবং 1993 সালে 5/16 = 0.3125-কে তৎকালীন রূপে বোম্বিয়েরি–ইভানিয়েৎস পদ্ধতির সম্ভাব্য সীমা বলে প্রস্তাব করেছিলেন। লি ও ইয়াংয়ের রেকর্ড, যা হারমোনিক বিশ্লেষণের একটি সাম্প্রতিক হাতিয়ার — গুথ (Guth) ও মালদাগের (Maldague) “স্মল ক্যাপ ডিকাপলিং” (small cap decoupling) উপপাদ্য — এনে অর্জিত হয়েছিল, তখনও তার ওপরে ছিল।

শি সেন (Xi Cen; চায়না ইউনিভার্সিটি অব মাইনিং অ্যান্ড টেকনোলজি-বেইজিং), শিতাও গাও (Xitao Gao) ও জুনইয়ং ঝাং (Junyong Zhang; বেইজিং ইনস্টিটিউট অব টেকনোলজি) এবং চেং ঝাং (Cheng Zhang; ইয়াউ ম্যাথমেটিক্যাল সায়েন্সেস সেন্টার, সিংহুয়া বিশ্ববিদ্যালয়) এখন প্রমাণ করেছেন:

উপপাদ্য 1.1. প্রতিটি ε > 0 এবং প্রতিটি বাস্তব X ≥ 4-এর জন্য, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}।

আর তাঁরা স্পষ্ট করে বলেন এটি রেখার ঠিক কতটা নিচে পড়ে:

209/670 = 5/16 − 3/5360

অর্থাৎ প্রায় 0.31194 — লি ও ইয়াংয়ের চেয়ে 0.0025-এর উন্নতি। আকারে ছোট, কিন্তু এমন এক মানের অন্য পাশে, যা একটি পুরো পদ্ধতির চিহ্ন হিসেবে কাজ করত।

দুটি পরিমার্জন, দুটি পরিসর

প্রমাণটি অবশিষ্ট প্যারামিটারগুলোকে দুটি পরিসরে ভাগ করে, যা ঠিক সেই বিন্দুতে মেলে যেখানে দুটিই 209/670 দেয়।

মাঝের পরিসরে লেখকেরা একটি দশা (phase) ষষ্ঠ ক্রম পর্যন্ত বিস্তৃত করেন এবং ভিনোগ্রাদভের গড় মান উপপাদ্য দিয়ে সবকিছুকে এমন বিন্দু-জোড় গোনায় নামিয়ে আনেন, যেগুলোর চতুর্থ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ টেলর সহগ মেলে। মূল ধাপ হলো এই শর্তগুলো স্পষ্টভাবে সমাধান করা: রৈখিক ত্রুটি কেটে যায়, থাকে একটি দ্বিঘাত ত্রুটি, যা ফুরিয়ে বিস্তার এবং রোবের (Robert) ও সার্গোর (Sargos) ব্যবধান-আনুমানিকের সাহায্যে সামলানোর মতো ছোট। জোড়ের গণনা তুচ্ছ “কর্ণ” জোড়গুলোর মতোই ছোট আসে, যথেচ্ছ ছোট ক্ষতি বাদে।

বড় পরিসরে নতুন উপাদানটি হলো এমন সূচকীয় যোগফলের জন্য একটি বণ্টন-আনুমানিক, যাদের কম্পাঙ্ক একটি শঙ্কুর ওপর থাকে; এটি গুথ ও মালদাগের একটি বিস্তার-নির্ভর আনুমানিক থেকে বের করা। এটি দুটি পদ দেয়, একটি চতুর্থ ঘাতের, একটি ষষ্ঠ ঘাতের। প্রথমে একটি একক ভ্রামক-আনুমানিকে মিশিয়ে না ফেলে দ্বৈত বৃহৎ ছাঁকনির (double large sieve) মধ্য দিয়ে এদের আলাদা রাখাই সুফল দেয়। গবেষণাপত্র অনুযায়ী, এটি অন্য প্রধান উপাদান, ওয়াটের (Watt) দ্বিতীয়-ব্যবধান সীমাকে শক্তিশালী না করেই কাজ করে।

1/4 এখনও অনেক দূরে

নতুন সূচক 0.3119 এখনও অনুমিত 0.25 থেকে অনেক দূরে। গবেষণাপত্রটি সমস্যার অন্য দিকটিও পর্যালোচনা করে — ত্রুটি কত বড় হতে পারে বলে জানা — যেখানে সাউন্ডাররাজন (Soundararajan), লামজৌরি (Lamzouri) ও অন্যদের ফলাফল এর সবচেয়ে বড় দোলনগুলোকে আরও নির্ভুলভাবে নির্ধারণ করছে।

কাজটি 34 পৃষ্ঠার একটি প্রিপ্রিন্ট। লেখকেরা জানিয়েছেন, প্রমাণের কৌশল নিয়ে আলোচনা করতে, যুক্তির কিছু অংশের খসড়া তৈরি ও যাচাইয়ে সাহায্য পেতে এবং তথ্যসূত্র গোছাতে তাঁরা ChatGPT ও Codex ব্যবহার করেছেন, এবং প্রতিটি বিবৃতি ও প্রমাণ তাঁরা নিজেরাই লিখেছেন, পর্যালোচনা ও যাচাই করেছেন। গাউসের বিন্দু-গ্রিডের ক্ষেত্রে এখন জানা যে ত্রুটি প্রায় X^{0.312}-এর চেয়ে দ্রুত বাড়ে না — নীতিগতভাবে X^{0.25} পর্যন্ত নামার জায়গা এখনও আছে।