گاؤس کا دائرے کا مسئلہ 5/16 سے نیچے سرک گیا

خانوں والے کاغذ کی ایک لامتناہی شیٹ پر جالی کے کسی نقطے کو مرکز بنا کر ایک دائرہ لیں اور گنیں کہ لکیروں کے کتنے سنگم اس کے اندر آتے ہیں۔ جواب دائرے کے رقبے کے قریب ہوتا ہے — مگر کبھی اس کے برابر نہیں، کیونکہ کنارہ جالی کو بے قاعدہ انداز میں کاٹتا ہے۔ گاؤس کا دائرے کا مسئلہ یہ پوچھتا ہے کہ یہ عدم مطابقت کتنی بڑی ہو سکتی ہے۔

مقالے کی علامتوں میں قرص a² + b² ≤ X ہے، جہاں X نصف قطر کا مربع ہے، اس لیے اس کا رقبہ πX ہے۔ عدم مطابقت یہ ہے

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

— یعنی اندر موجود جالی کے نقاط (a, b) کی تعداد، منفی رقبہ۔ آگے آنے والے تمام قوت نما X کی طاقتیں ہیں، جیسا کہ مقالے میں ہے۔

محیط سے قیاس تک

گاؤس کی ہندسی دلیل E(X) = O(X^{1/2}) دیتی ہے: غلطی زیادہ سے زیادہ نصف قطر کے درجے کی ہے، تقریباً دائرے کی سرحد جتنی۔ یہ آسان حد ہے۔

دوسرے سرے پر، ہارڈی نے ثابت کیا کہ غلطی دونوں سمتوں میں بار بار X^{1/4} کے درجے کی قدروں تک جھولتی رہتی ہے — اس لیے 1/4 سے کم قوت نما والی کوئی حد درست نہیں ہو سکتی۔ متوقع جواب، جسے مقالہ ہارڈی کا قیاس (conjecture) کہتا ہے، یہ ہے کہ 1/4 بنیادی طور پر درست ہے: ہر ε > 0 کے لیے |E(X)| ≲ X^{1/4+ε}، جہاں ε کا مطلب کسی بھی مقررہ طاقت سے چھوٹا نقصان ہے۔

اس کے بعد کا سارا کام 1/2 اور 1/4 کے درمیان قوت نما پر ایک کشمکش رہا ہے۔ مقالے کی تاریخی جدول مراحل گنواتی ہے: 1906 میں سیرپنسکی 1/3 کے ساتھ، فان در کورپٹ، ٹچمارش، ہوا، چن، کولیسنک، 1988 میں ایوانیئس اور موزوکی 7/22 کے ساتھ، ہکسلے 1993 میں 23/73 اور 2003 میں 131/416 (تقریباً 0.3149) کے ساتھ، پھر لی اور یانگ، 2023 کے ایک پری پرنٹ میں، 0.3144831759… کے ساتھ۔

5/16 کی دہلیز

اس پیش رفت کا بڑا حصہ ایک ایسی تکنیک سے آیا جسے بومبیئری اور ایوانیئس نے بنایا اور ایوانیئس اور موزوکی نے دائرے کے لیے ڈھالا۔ یہ مسئلے کو قوت نمائی مجموعوں (exponential sums) کے تخمینوں میں بدل دیتی ہے، جو دو “وقفے” کے مسائل تک محدود ہو جاتے ہیں: یہ گننا کہ کچھ ناطق تقریبیں کتنی بار ایک دوسرے کے قریب آتی ہیں۔ ہکسلے نے اس طریقے کو سب سے آگے تک دھکیلا، اور 1993 میں 5/16 = 0.3125 کو اس وقت کی صورت میں بومبیئری–ایوانیئس طریقے کی ممکنہ حد قرار دیا۔ لی اور یانگ کا ریکارڈ، جو ہارمونک تجزیے کا ایک نیا اوزار — گتھ اور مالداگ کا “small cap decoupling” مسئلہ — لا کر حاصل ہوا تھا، اب بھی اس سے اوپر تھا۔

شی چین (چائنا یونیورسٹی آف مائننگ اینڈ ٹیکنالوجی-بیجنگ)، شیتاؤ گاؤ اور جون یونگ ژانگ (بیجنگ انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی) اور چینگ ژانگ (یاؤ میتھمیٹیکل سائنسز سینٹر، سنگھوا یونیورسٹی) اب ثابت کرتے ہیں:

مسئلہ 1.1۔ ہر ε > 0 اور ہر حقیقی X ≥ 4 کے لیے، |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}۔

اور وہ بالکل واضح کرتے ہیں کہ یہ لکیر سے کتنا نیچے ہے:

209/670 = 5/16 − 3/5360

یہ تقریباً 0.31194 ہے — لی اور یانگ کے مقابلے میں 0.0025 کی بہتری۔ مقدار میں چھوٹی، مگر ایک ایسی قدر کے دوسری طرف جو ایک پورے طریقۂ کار کے لیے سنگِ میل کا کام دیتی رہی تھی۔

دو بہتریاں، دو دائرے

ثبوت باقی پیرامیٹرز کو دو دائروں میں تقسیم کرتا ہے، جو عین اس نقطے پر ملتے ہیں جہاں دونوں 209/670 دیتے ہیں۔

درمیانی دائرے میں مصنفین ایک فیز کو چھٹے درجے تک پھیلاتے ہیں اور وینوگرادوف کے اوسط قدر کے مسئلے سے سب کچھ ان نقاط کے جوڑوں کی گنتی تک لے آتے ہیں جو اپنے چوتھے، پانچویں اور چھٹے ٹیلر عددی سر (coefficients) میں ایک جیسے ہوں۔ کلیدی قدم ان شرائط کو صراحت سے حل کرنا ہے: خطی غلطی منسوخ ہو جاتی ہے، اور ایک دو درجی غلطی بچتی ہے جو اتنی چھوٹی ہے کہ فوریئر توسیع اور رابرٹ اور سارگوس کے وقفے کے تخمینوں سے سنبھالی جا سکے۔ جوڑوں کی گنتی، من مانے طور پر چھوٹے نقصانات کو چھوڑ کر، معمولی “قطری” جوڑوں جتنی چھوٹی نکلتی ہے۔

بڑے دائرے میں نیا جزو ان قوت نمائی مجموعوں کے لیے تقسیم کا ایک تخمینہ ہے جن کے تعدد ایک مخروط پر واقع ہوں، جو گتھ اور مالداگ کے ایک وسعت پر منحصر تخمینے سے اخذ کیا گیا ہے۔ یہ دو حدیں پیدا کرتا ہے، ایک چوتھی طاقت والی اور ایک چھٹی طاقت والی۔ انہیں پہلے ایک واحد مومنٹ تخمینے میں ضم کرنے کے بجائے دوہری بڑی چھلنی (double large sieve) کے پورے عمل میں الگ رکھنا ہی فائدہ مند ثابت ہوتا ہے۔ مقالے کے مطابق یہ واٹ کی دوسرے وقفے کی حد کو، جو دوسرا بنیادی جزو ہے، مضبوط کیے بغیر کام کرتا ہے۔

1/4 تک اب بھی طویل راستہ

نیا قوت نما، 0.3119، قیاس شدہ 0.25 سے اب بھی دور ہے۔ مقالہ مسئلے کے دوسرے رخ کا بھی جائزہ لیتا ہے — یعنی یہ کہ غلطی کا کتنا بڑا ہونا معلوم ہے — جہاں ساؤنڈرا راجن، لامزوری اور دوسروں کے نتائج اس کے سب سے بڑے جھولوں کو بڑھتی ہوئی درستی سے متعین کرتے ہیں۔

یہ کام 34 صفحات کا ایک پری پرنٹ ہے۔ مصنفین بتاتے ہیں کہ انہوں نے ثبوت کی حکمت عملیوں پر بات کرنے، دلائل کے کچھ حصوں کا مسودہ بنانے اور ان کی جانچ میں مدد لینے اور حوالہ جات ترتیب دینے کے لیے ChatGPT اور Codex استعمال کیے، اور یہ کہ ہر بیان اور ثبوت خود انہوں نے لکھا، جانچا اور تصدیق کیا۔ گاؤس کے نقاط کی جالی کے لیے اب معلوم ہے کہ غلطی تقریباً X^{0.312} سے زیادہ تیزی سے نہیں بڑھتی — اور اصولاً X^{0.25} تک نیچے جانے کی گنجائش باقی ہے۔