ガウスの円問題、5/16を下回る

無限に広がる方眼紙の格子点を中心に円を描き、その内側にある交点を数えてみよう。答えは円の面積に近い。だが決して面積と等しくはならない。円の縁が格子を不規則に横切るからだ。ガウスの円問題は、そのずれがどこまで大きくなりうるかを問う。

論文の記法では、円板は a² + b² ≤ X で、X は半径の2乗である。したがってその面積は πX だ。ずれは次のように表される。

E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX

つまり、内側にある格子点 (a, b) の個数から面積を引いたものだ。以下に出てくる指数はすべて、論文と同じく X のべき乗である。

周の長さから予想へ

ガウスの幾何学的な議論からは E(X) = O(X^{1/2}) が得られる。誤差はせいぜい半径の程度、つまりおおよそ円の境界の大きさということだ。これは簡単な上界である。

反対側では、ハーディ（Hardy）が、誤差は正負両方向に揺れ続け、X^{1/4} の程度の値に達することを証明した。したがって、指数が1/4より小さい上界は成り立ちえない。予想される答え、論文がハーディ予想と呼ぶものは、1/4が本質的に正しいというものだ。すべての ε > 0 について |E(X)| ≲ X^{1/4+ε} が成り立つ。ここで ε は、どんな固定されたべきよりも小さな損失を意味する。

それ以降のすべては、1/2と1/4のあいだの指数をめぐる戦いだった。論文の歴史表がその歩みを並べている。1906年のシェルピンスキ（Sierpiński）による1/3、ファン・デル・コルプト（van der Corput）、ティッチマーシュ（Titchmarsh）、フア（Hua）、チェン（Chen）、コレスニク（Kolesnik）、そして1988年のイワニエツ（Iwaniec）とモッツォキ（Mozzochi）による7/22、1993年のハクスリー（Huxley）による23/73と2003年の131/416（約0.3149）、そして2023年のプレプリントでのリー（Li）とヤン（Yang）による0.3144831759… である。

5/16という閾値

その進歩の多くは、ボンビエリ（Bombieri）とイワニエツが築き、イワニエツとモッツォキが円に応用した手法によるものだった。この手法は問題を指数和の評価に変え、それは2つの「間隔（spacing）」問題に帰着する。ある種の有理近似がどれくらいの頻度で互いに近くに集まるかを数える問題だ。ハクスリーはこの手法を最も遠くまで推し進め、1993年に、当時のボンビエリ＝イワニエツ法の限界になりうる値として5/16 = 0.3125を示唆した。調和解析の最近の道具、つまりガス（Guth）とマルダギュ（Maldague）の「スモールキャップ・デカップリング」定理を持ち込んで得られたリーとヤンの記録も、まだその上にあった。

シー・ツェン（Xi Cen、中国鉱業大学〈北京〉）、シータオ・ガオ（Xitao Gao）とジュンヨン・チャン（Junyong Zhang、北京理工大学）、チェン・チャン（Cheng Zhang、清華大学丘成桐数学科学センター）は、いま次のことを証明した。

定理1.1. すべての ε > 0 とすべての実数 X ≥ 4 について、|E(X)| ≲ X^{209/670+ε}。

そして、それが線をどれだけ下回るのかを正確に示している。

209/670 = 5/16 − 3/5360

これは約0.31194で、リーとヤンに対して0.0025の改善になる。大きさとしては小さい。だが、ひとつの手法全体の目印となっていた値の、向こう側にある。

2つの改良、2つの範囲

証明は残りのパラメータを2つの範囲に分ける。2つの範囲は、どちらも209/670を与える点でちょうど接する。

中間の範囲では、著者らは位相を6次まで展開し、ヴィノグラードフの平均値定理を使って、すべてを、テイラー係数の4次、5次、6次が一致する点の組の個数を数える問題に帰着させる。鍵となる段階は、その制約を明示的に解くことだ。1次の誤差が打ち消しあい、残る2次の誤差は、フーリエ展開とロベール（Robert）とサルゴス（Sargos）の間隔評価で扱えるほど小さい。組の個数は、いくらでも小さな損失を除けば、自明な「対角」の組と同じくらい小さくなる。

より大きな範囲での新しい材料は、周波数が円錐の上にある指数和についての分布評価で、ガスとマルダギュによる振幅に依存した評価から導かれる。これは2つの項を生み出す。4乗の項と6乗の項だ。それらを先にひとつのモーメント評価にまとめるのではなく、二重大篩（double large sieve）を通して別々に保つことが、成果につながる。論文によれば、これはもうひとつの主要な材料であるワット（Watt）の第2間隔評価を強めなくても機能する。

1/4まではまだ遠い

新しい指数0.3119は、予想される0.25からはまだ遠い。論文は問題の反対側、つまり誤差がどこまで大きくなることが知られているかについても概観している。そこでは、サウンダララジャン（Soundararajan）、ラムズーリ（Lamzouri）らの結果が、誤差の最大の揺れをますます正確にとらえている。

この研究は34ページのプレプリントだ。著者らは、証明の戦略を議論し、議論の一部の下書きと確認を手伝わせ、参考文献を整理するためにChatGPTとCodexを使ったこと、そしてすべての主張と証明は自分たちが書き、見直し、検証したことを明記している。ガウスの格子点について、誤差はいまや約 X^{0.312} より速くは増えないことがわかっている。原理的には、X^{0.25} まで下げる余地が残されている。