TATIZO LA DUARA LA GAUSS LASHUKA CHINI YA 5/16
Chukua duara lenye kitovu kwenye nukta ya gridi ya karatasi ya miraba isiyo na mwisho na uhesabu makutano yanayoangukia ndani yake. Jibu liko karibu na eneo la duara — lakini halilingani nalo kamwe, kwa sababu ukingo unakata gridi kwa namna isiyo ya kawaida. Tatizo la duara la Gauss linauliza tofauti hiyo inaweza kuwa kubwa kiasi gani.
Katika alama za makala, diski ni a² + b² ≤ X, ambapo X ni kipeuo cha pili cha nusukipenyo, kwa hiyo eneo lake ni πX. Tofauti ni
E(X) = #{(a, b) ∈ ℤ² : a² + b² ≤ X} − πX
— idadi ya nukta za gridi (a, b) zilizo ndani, ukitoa eneo. Vipeo vyote vilivyo hapa chini ni vipeo vya X, kama katika makala.
Kutoka mzingo hadi dhana
Hoja ya kijiometri ya Gauss inatoa E(X) = O(X^{1/2}): kosa ni la kiwango cha nusukipenyo kwa upeo, takriban ukubwa wa mpaka wa duara. Hicho ndicho kikomo rahisi.
Upande mwingine, Hardy alithibitisha kwamba kosa huendelea kuyumba, pande zote mbili, hadi thamani za kiwango cha X^{1/4} — kwa hiyo hakuna kikomo chenye kipeo chini ya 1/4 kinachoweza kushikilia. Jibu linalotarajiwa, ambalo makala inaliita dhana ya Hardy, ni kwamba 1/4 kimsingi ni sahihi: |E(X)| ≲ X^{1/4+ε} kwa kila ε > 0, ambapo ε inamaanisha hasara ndogo kuliko kipeo chochote kisichobadilika.
Kila kitu tangu hapo kimekuwa mapambano juu ya kipeo kati ya 1/2 na 1/4. Jedwali la historia la makala linaorodhesha hatua: Sierpiński mwaka 1906 kwa 1/3, van der Corput, Titchmarsh, Hua, Chen, Kolesnik, Iwaniec na Mozzochi kwa 7/22 mwaka 1988, Huxley kwa 23/73 mwaka 1993 na 131/416 (takriban 0.3149) mwaka 2003, kisha Li na Yang, katika chapisho la awali la 2023, kwa 0.3144831759…
Kizingiti cha 5/16
Sehemu kubwa ya maendeleo hayo ilitokana na mbinu iliyojengwa na Bombieri na Iwaniec na kurekebishwa kwa ajili ya duara na Iwaniec na Mozzochi. Inageuza tatizo kuwa makadirio ya majumuisho ya vielelezo (exponential sums), ambayo hupunguka hadi matatizo mawili ya “nafasi” (spacing): kuhesabu ni mara ngapi makadirio fulani ya kimantiki huangukia karibu karibu. Huxley aliisukuma mbinu hii mbali zaidi, na mwaka 1993 alipendekeza 5/16 = 0.3125 kama kikomo kinachowezekana cha mbinu ya Bombieri–Iwaniec kama ilivyokuwa wakati huo. Rekodi ya Li na Yang, iliyopatikana kwa kuleta zana ya hivi karibuni kutoka uchambuzi wa harmoniki — nadharia ya “small cap decoupling” ya Guth na Maldague — bado ilikuwa juu yake.
Xi Cen (Chuo Kikuu cha Uchimbaji Madini na Teknolojia cha China – Beijing), Xitao Gao na Junyong Zhang (Taasisi ya Teknolojia ya Beijing) na Cheng Zhang (Kituo cha Sayansi za Hisabati cha Yau, Chuo Kikuu cha Tsinghua) sasa wanathibitisha:
Nadharia 1.1. Kwa kila ε > 0 na kila namba halisi X ≥ 4, |E(X)| ≲ X^{209/670+ε}.
Na wanaeleza hasa ni umbali gani chini ya mstari matokeo haya yanaangukia:
209/670 = 5/16 − 3/5360
Hiyo ni takriban 0.31194 — faida ya 0.0025 juu ya Li na Yang. Ndogo kwa ukubwa, lakini upande wa pili wa thamani iliyokuwa alama ya mkabala mzima.
Maboresho mawili, wigo miwili
Uthibitisho unagawanya vigezo vilivyobaki katika wigo miwili, inayokutana hasa kwenye nukta ambapo yote miwili inatoa 209/670.
Katika wigo wa kati, waandishi wanapanua awamu hadi daraja la sita na kutumia nadharia ya thamani ya wastani ya Vinogradov kupunguza kila kitu hadi kuhesabu jozi za nukta zinazokubaliana katika vigawo vyao vya Taylor vya nne, tano na sita. Hatua muhimu ni kutatua masharti hayo waziwazi: kosa la mstari linajifuta, likiacha kosa la kipeo cha pili lililo dogo vya kutosha kushughulikiwa kwa upanuzi wa Fourier na makadirio ya nafasi ya Robert na Sargos. Idadi ya jozi inatoka ndogo kama jozi dhahiri za “mlalo”, ukiondoa hasara ndogo kadiri unavyotaka.
Katika wigo mkubwa zaidi, kiungo kipya ni makadirio ya usambazaji kwa majumuisho ya vielelezo ambayo masafa yake yako juu ya koni, yanayotokana na makadirio ya Guth na Maldague yanayotegemea amplitudo. Yanazalisha vipengele viwili, kimoja chenye kipeo cha nne na kingine chenye kipeo cha sita. Kuviweka tofauti kupitia ungo mkubwa maradufu (double large sieve), badala ya kuviunganisha kwanza kuwa makadirio moja ya moment, ndiko kunakoleta faida. Kulingana na makala, hili linafanya kazi bila kuimarisha kikomo cha nafasi ya pili cha Watt, kiungo kingine kikuu.
Bado njia ndefu hadi 1/4
Kipeo kipya, 0.3119, bado kiko mbali na 0.25 inayodhaniwa. Makala pia inapitia upande mwingine wa tatizo — kosa linajulikana kufikia ukubwa gani — ambapo matokeo ya Soundararajan, Lamzouri na wengine yanabainisha miyumbo yake mikubwa zaidi kwa usahihi unaoongezeka.
Kazi hii ni chapisho la awali la kurasa 34. Waandishi wanaeleza kwamba walitumia ChatGPT na Codex kujadili mikakati ya uthibitisho, kusaidia kuandaa rasimu na kukagua sehemu za hoja na kupanga marejeleo, na kwamba kila kauli na uthibitisho uliandikwa, ukapitiwa na kuhakikiwa nao wenyewe. Kwa gridi ya nukta ya Gauss, sasa inajulikana kwamba kosa halikui kwa kasi zaidi ya takriban X^{0.312} — huku kukiwa na nafasi, kinadharia, ya kushuka hadi X^{0.25}.