OpenAI تقول إن صفرًا مخيفًا لا وجود له — وعالِم رياضيات يتحقق

تضارب المصالح. تذكر الورقة أن النموذج اللغوي الكبير Claude، من تطوير Anthropic، استُخدم طوال إعدادها: فقد أعدّ تقريرًا عن مخطوطة OpenAI ومسودة موسَّعة للبرهان تشكّل أساس النص، واستخرج الثوابت الصريحة، وساعد في التحقق من البرهان. وقد كتب Claude هذا المقال أيضًا. وتُنسب النتيجة الأساسية إلى OpenAI، منافِسة Anthropic. ولا تجعل أيٌّ من هاتين الحقيقتين البرهانَ صحيحًا أو خاطئًا؛ فذلك أمر يحكم فيه علماء رياضيات مستقلون.

يدرس علماء نظرية الأعداد كيفية توزّع الأعداد الأولية بأدوات تُسمّى دوال L لديريكليه، L(s, χ)، ترتبط كل منها بـ«حرف» χ له «موصِّل» q. والمواضع التي تنعدم فيها هذه الدوال هي أصفارها.

وبالنسبة إلى الحروف الحقيقية، لم يُستبعد قط احتمال مزعج: صفر حقيقي وحيد β يقع على مقربة شديدة من 1. ويُسمّى صفر لانداو–زيغل. وتشير الورقة إلى أن مسألة وجود هذه الأصفار إحدى المسائل المركزية في نظرية الأعداد التحليلية، لأنها تحول دون تقديرات منتظمة للأعداد الأولية في المتتاليات الحسابية، ودون حدود دنيا فعلية لـ«أعداد الأصناف» في الحقول التربيعية.

والإجابات الجزئية المعروفة كلها تُغفل شيئًا ما. فقد بيّن زيغل عام 1935 أن هذا الصفر لا يمكن أن يكون قريبًا أكثر من اللازم من 1، لكن الطريقة لا تتيح حساب مقدار هذا القرب. وبيّن بيج أنه، حتى أي حجم معطى، لا يمكن أن يملك هذا الصفر إلا حرف حقيقي واحد على الأكثر. ثم قدّمت أعمال لاحقة لغولدفيلد، ولغروس وزاغير، حدودًا فعلية لأعداد الأصناف — لكنها، بحسب الورقة، أضعف بكثير مما يتيحه استبعاد هذه الأصفار.

ادعاء OpenAI

تؤكد مخطوطة صادرة عن OpenAI، مؤرخة في 1 أكتوبر 2026، أن أصفار لانداو–زيغل غير موجودة: إذ يوجد ثابت محدد c > 0 بحيث (1 − β) log q ≥ c لكل صفر حقيقي، حيث q هو «موصِّل» الحرف. وبحسب ويليام بانكس من جامعة ميزوري، فإن برهانها قصير نسبيًا، ويستخدم محدِّدة استيفاء — وهي أداة مألوفة في نظرية الأعداد المتسامية — ولا يحتاج إلا إلى متباينة كلاسيكية واحدة حول دوال L. لكنه يعتمد البرهان بالتناقض ولا يقدّم أي قيمة عددية لأي ثابت.

برهان مكتوب بالكامل

لا يدّعي بانكس أي أصالة في الأفكار. فالهدف هو جعل الحجة في متناول القارئ وتأكيدها، في صورة برهان مباشر تُكتب فيه كل خطوة. والجديد هو الأرقام الصريحة:

(1 − β) log q ≥ 0.003 لكل موصِّل q ≥ 10¹⁰

وبالجمع مع بحث حاسوبي أجراه لو وزمان وتشاو للموصِّلات الأصغر — يذكر بانكس أنه لم يتحقق منه — يصح الحد لكل موصِّل بدءًا من 3.

كيف يُطبق الفخ

يضع البرهان عددًا صحيحًا واحدًا في مواجهة نفسه.

• إحصاء منحاز للأعداد الأولية. لو وُجد صفر حقيقي قريب جدًا من 1، لكان χ(p) = −1 لكل الأعداد الأولية p تقريبًا. وهذه نتيجة كلاسيكية، وهي الموضع الوحيد الذي يدخل فيه الصفر.
• محدِّدة. في نظام عددي مبني من الجذر التربيعي لـ2 والجذر التربيعي المرتبط بـχ، يجمّع بانكس محدِّدة ضخمة Δ من قوى أعداد مختارة بعناية. و«معيارها» عدد صحيح غير صفري.
• كبير جدًا وصغير جدًا في آنٍ واحد. يقول حدٌّ للحجم إن هذا العدد الصحيح لا يمكن أن يكون كبيرًا جدًا. لكن عند كل عدد أولي p يحقق χ(p) = −1، تجعل قاعدة جبرية تُسمّى تطابق فروبينيوس Δ قابلة للقسمة على قوى عالية لـp. فإذا سلكت الأعداد الأولية كلها تقريبًا هذا السلوك — كما يفرض صفر قريب من 1 — لاحتاج العدد الصحيح إلى عوامل أولية أكثر مما يسمح به حجمه.

ولا يزول التناقض إلا إذا حافظ الصفر على مسافة دنيا عن 1. وبعبارة بانكس، فإن الحيلة الأساسية هي أن العدد المساعد 2 يرفع رتبة الشبكة إلى أربع مع الإبقاء على ثلاثة متغيرات فقط.

والآن، التحقق

الرهانات عالية، ويقول بانكس ذلك صراحة: «نظرًا لأهمية المبرهنة، فإن التدقيق المستقل أمر لا غنى عنه؛ وقد كُتبت هذه الورقة لجعل ذلك التدقيق أسهل ما يمكن». ويكتب بانكس أنه تحقق شخصيًا من كل سطر ويعتقد أن الحجة سليمة. ولم يراجع علماء رياضيات آخرون النتيجة بعد، وقد أُعدّ جزء كبير من هذا النص بمساعدة نظام ذكاء اصطناعي. والخطوة التالية بيد مجتمع نظرية الأعداد.