OpenAI বলছে, একটি আশঙ্কিত শূন্য আসলে নেই — একজন গণিতবিদ যাচাই করছেন

স্বার্থের সংঘাত। গবেষণাপত্রে বলা হয়েছে, এটি তৈরির পুরো সময় জুড়ে Anthropic-এর তৈরি বৃহৎ ভাষা-মডেল Claude ব্যবহৃত হয়েছে: এটি OpenAI-এর পাণ্ডুলিপির ওপর একটি প্রতিবেদন এবং প্রমাণের একটি বিস্তৃত খসড়া তৈরি করেছে যা লেখাটির ভিত্তি, স্পষ্ট ধ্রুবকগুলো বের করেছে, আর প্রমাণ যাচাইয়ে সাহায্য করেছে। এই প্রবন্ধটিও লিখেছে Claude। মূল ফলাফলের কৃতিত্ব দেওয়া হয়েছে Anthropic-এর প্রতিদ্বন্দ্বী OpenAI-কে। এর কোনো তথ্যই প্রমাণটিকে সঠিক বা ভুল করে না; সেটি বিচার করবেন স্বাধীন গণিতবিদেরা।

সংখ্যাতাত্ত্বিকেরা মৌলিক সংখ্যার বণ্টন অধ্যয়ন করেন ডিরিক্লে L-ফাংশন L(s, χ) নামের হাতিয়ার দিয়ে, যার প্রতিটি একটি “কন্ডাক্টর” q-যুক্ত একটি “ক্যারেক্টার” χ-এর সঙ্গে যুক্ত। যেসব বিন্দুতে এই ফাংশনগুলো শূন্য হয়, সেগুলোই এদের শূন্য (zeros)।

বাস্তব ক্যারেক্টারের ক্ষেত্রে একটি অস্বস্তিকর সম্ভাবনা কখনো বাদ দেওয়া যায়নি: 1-এর অত্যন্ত কাছে থাকা একটিমাত্র বাস্তব শূন্য β। একে বলা হয় লান্ডাউ–জিগেল শূন্য। গবেষণাপত্রটি উল্লেখ করেছে, এমন শূন্য আছে কি না তা বিশ্লেষণী সংখ্যাতত্ত্বের কেন্দ্রীয় সমস্যাগুলোর একটি, কারণ এগুলো সমান্তর প্রগমনে মৌলিক সংখ্যার সুষম অনুমান এবং দ্বিঘাত ক্ষেত্রের “ক্লাস সংখ্যা”-র কার্যকর নিম্নসীমা আটকে দেয়।

জানা আংশিক উত্তরগুলোর প্রতিটিতেই কিছু না কিছু বাদ পড়ে। জিগেল ১৯৩৫ সালে দেখিয়েছিলেন যে এমন শূন্য 1-এর অতিরিক্ত কাছে থাকতে পারে না, কিন্তু পদ্ধতিটি দিয়ে কতটা কাছে তা হিসাব করার কোনো উপায় নেই। পেজ দেখিয়েছিলেন যে যেকোনো নির্দিষ্ট আকার পর্যন্ত বড়জোর একটি বাস্তব ক্যারেক্টারের এমন শূন্য থাকতে পারে। পরে গোল্ডফেল্ড এবং গ্রস ও জাগিয়েরের কাজ ক্লাস সংখ্যার ওপর কার্যকর সীমা দিয়েছে — কিন্তু গবেষণাপত্র অনুযায়ী, এই শূন্যগুলো বাদ দিতে পারলে যা পাওয়া যেত তার চেয়ে অনেক দুর্বল।

OpenAI-এর দাবি

১ অক্টোবর ২০২৬ তারিখের OpenAI-এর একটি পাণ্ডুলিপি দাবি করে যে লান্ডাউ–জিগেল শূন্য নেই: একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক c > 0 আছে যাতে প্রতিটি বাস্তব শূন্যের জন্য (1 − β) log q ≥ c, যেখানে q হলো ক্যারেক্টারের “কন্ডাক্টর”। মিসৌরি বিশ্ববিদ্যালয়ের উইলিয়াম ব্যাংকসের মতে, এর প্রমাণ বেশ সংক্ষিপ্ত, একটি ইন্টারপোলেশন ডিটারমিন্যান্ট ব্যবহার করে — অতীন্দ্রিয় (ট্রান্সেন্ডেন্টাল) সংখ্যার তত্ত্ব থেকে পরিচিত একটি হাতিয়ার — আর L-ফাংশন নিয়ে কেবল একটি ধ্রুপদি অসমতার প্রয়োজন হয়। কিন্তু এটি বিরোধের মাধ্যমে যুক্তি দেয় এবং কোনো ধ্রুবকের কোনো সাংখ্যিক মান দেয় না।

পুরোপুরি লেখা একটি প্রমাণ

ব্যাংকস ধারণাগুলোর মৌলিকত্ব দাবি করেন না। লক্ষ্য হলো যুক্তিটিকে সহজবোধ্য করা এবং নিশ্চিত করা, এমন একটি প্রত্যক্ষ প্রমাণ হিসেবে যেখানে প্রতিটি ধাপ লেখা আছে। নতুন যা, তা হলো স্পষ্ট সংখ্যা:

প্রতিটি কন্ডাক্টর q ≥ 10¹⁰-এর জন্য (1 − β) log q ≥ 0.003

ছোট কন্ডাক্টরের জন্য লু, জামান ও ঝাওয়ের একটি কম্পিউটার-অনুসন্ধানের সঙ্গে মিলিয়ে — যা ব্যাংকস জানিয়েছেন তিনি যাচাই করেননি — সীমাটি 3 থেকে ওপরের প্রতিটি কন্ডাক্টরের জন্য খাটবে।

ফাঁদটি কীভাবে বন্ধ হয়

প্রমাণটি একটি পূর্ণসংখ্যাকে তারই বিরুদ্ধে দাঁড় করায়।

• মৌলিক সংখ্যার একটি পক্ষপাতদুষ্ট গণনা। কোনো বাস্তব শূন্য 1-এর খুব কাছে থাকলে প্রায় সব মৌলিক p-এর জন্য χ(p) = −1 হতো। এটি ধ্রুপদি ফল, আর এটিই একমাত্র জায়গা যেখানে শূন্যটি যুক্তিতে ঢোকে।
• একটি ডিটারমিন্যান্ট। 2-এর বর্গমূল আর χ-এর সঙ্গে যুক্ত বর্গমূল দিয়ে গড়া একটি সংখ্যা-ব্যবস্থায় ব্যাংকস যত্ন করে বেছে নেওয়া সংখ্যার ঘাত থেকে একটি বিশাল ডিটারমিন্যান্ট Δ জোড়া দেন। এর “নর্ম” একটি অশূন্য পূর্ণসংখ্যা।
• একসঙ্গে খুব বড় আর খুব ছোট। একটি আকার-সীমা বলে এই পূর্ণসংখ্যা খুব বড় হতে পারে না। কিন্তু χ(p) = −1 এমন প্রতিটি মৌলিক p-তে ফ্রোবেনিয়াস সর্বসমতা নামের একটি বীজগাণিতিক নিয়ম Δ-কে p-এর উচ্চ ঘাত দিয়ে বিভাজ্য করে তোলে। প্রায় সব মৌলিক সংখ্যা এমন আচরণ করলে — যেমনটা 1-এর কাছের শূন্য বাধ্য করত — পূর্ণসংখ্যাটির তার আকারের অনুমতির চেয়ে বেশি মৌলিক উৎপাদক লাগত।

বিরোধটি মিলিয়ে যায় কেবল তখনই, যখন শূন্যটি 1 থেকে একটি ন্যূনতম দূরত্ব বজায় রাখে। ব্যাংকসের ভাষায়, মূল কৌশলটি হলো সহায়ক সংখ্যা 2 ল্যাটিসের র‍্যাংক চারে তুলে দেয়, অথচ চলরাশি থাকে কেবল তিনটি।

এবার যাচাই

ঝুঁকি বড়, আর ব্যাংকস নিজেই তা বলেছেন: “উক্তিটির গুরুত্ব বিবেচনায় স্বাধীন যাচাই অপরিহার্য; এই গবেষণাপত্র লেখা হয়েছে সেই যাচাইকে যতটা সম্ভব সহজ করতে।” ব্যাংকস লিখেছেন যে তিনি নিজে প্রতিটি লাইন যাচাই করেছেন এবং যুক্তিটিকে নির্ভুল মনে করেন। ফলাফলটি এখনো অন্য গণিতবিদেরা পর্যালোচনা করেননি, আর এই লেখার বড় অংশ একটি AI ব্যবস্থার সাহায্যে তৈরি। পরের পদক্ষেপ সংখ্যাতত্ত্বের গবেষক-সমাজের।