భయపడిన శూన్యం అసలు ఉనికిలోనే లేదని OpenAI అంటోంది — ఒక గణిత శాస్త్రవేత్త తనిఖీ చేస్తున్నారు

ప్రయోజనాల సంఘర్షణ. Anthropic తయారు చేసిన పెద్ద భాషా మోడల్ Claude ను దాని తయారీలో మొదటి నుంచి చివరి వరకు ఉపయోగించినట్టు పత్రం పేర్కొంటుంది: అది OpenAI రాతప్రతిపై ఒక నివేదికను, పాఠ్యానికి ఆధారమైన నిరూపణ విస్తరించిన ముసాయిదాను తయారు చేసింది, స్పష్టమైన స్థిరాంకాలను లెక్కించింది, నిరూపణను తనిఖీ చేయడంలో సహాయపడింది. ఈ వ్యాసాన్ని కూడా Claude రాసింది. మూల ఫలితం ఘనత Anthropic పోటీదారు అయిన OpenAI కి దక్కుతుంది. వీటిలో ఏదీ నిరూపణను సరైనదిగా గానీ తప్పుగా గానీ చేయదు; అది స్వతంత్ర గణిత శాస్త్రవేత్తలు నిర్ణయించాల్సిన విషయం.

సంఖ్యా సిద్ధాంతకర్తలు ప్రధాన సంఖ్యలు ఎలా పంపిణీ అయ్యాయో డిరిక్లే L-ప్రమేయాలు (Dirichlet L-functions), L(s, χ), అనే సాధనాలతో అధ్యయనం చేస్తారు, ప్రతిదీ ఒక “కండక్టర్” q గల ఒక “క్యారెక్టర్” χ కి అనుబంధమై ఉంటుంది. ఈ ప్రమేయాలు సున్నా అయ్యే బిందువులే వాటి శూన్యాలు (zeros).

వాస్తవ క్యారెక్టర్ల విషయంలో, ఒక ఇబ్బందికరమైన అవకాశాన్ని ఎప్పుడూ తోసిపుచ్చలేకపోయారు: 1 కి అత్యంత దగ్గరగా ఉండే ఒకే ఒక వాస్తవ శూన్యం β. దాన్ని లాండౌ–సీగెల్ శూన్యం అంటారు. అలాంటి శూన్యాలు ఉన్నాయా లేదా అన్నది విశ్లేషణాత్మక సంఖ్యా సిద్ధాంతంలోని కేంద్ర సమస్యల్లో ఒకటని పత్రం పేర్కొంటుంది, ఎందుకంటే అవి అంకశ్రేఢుల్లోని ప్రధాన సంఖ్యలకు ఏకరీతి అంచనాలను, ద్విఘాత క్షేత్రాల “వర్గ సంఖ్యల” (class numbers) కు ప్రభావవంతమైన కనిష్ఠ హద్దులను అడ్డుకుంటాయి.

తెలిసిన పాక్షిక సమాధానాలన్నీ ఏదో ఒకదాన్ని వదిలేస్తాయి. 1935లో సీగెల్, అలాంటి శూన్యం 1 కి మరీ దగ్గరగా ఉండలేదని చూపించారు, కానీ ఆ పద్ధతి అది ఎంత దగ్గరగా ఉందో లెక్కించే మార్గం ఇవ్వదు. ఏ నిర్దిష్ట పరిమాణం వరకైనా, గరిష్ఠంగా ఒకే ఒక వాస్తవ క్యారెక్టర్‌కు అలాంటి శూన్యం ఉండవచ్చని పేజ్ చూపించారు. తర్వాత గోల్డ్‌ఫెల్డ్, గ్రాస్-జాగియర్ చేసిన పని వర్గ సంఖ్యలపై ప్రభావవంతమైన హద్దులను ఇచ్చింది — కానీ, పత్రం ప్రకారం, ఈ శూన్యాలను తోసిపుచ్చితే వచ్చే వాటి కంటే అవి చాలా బలహీనమైనవి.

OpenAI వాదన

1 అక్టోబర్ 2026 తేదీ గల OpenAI రాతప్రతి లాండౌ–సీగెల్ శూన్యాలు ఉనికిలో లేవని నొక్కి చెబుతుంది: ప్రతి వాస్తవ శూన్యానికీ (1 − β) log q ≥ c అయ్యేలా ఒక స్థిరమైన స్థిరాంకం c > 0 ఉంది, ఇక్కడ q క్యారెక్టర్ “కండక్టర్”. మిస్సోరి విశ్వవిద్యాలయానికి చెందిన విలియం బ్యాంక్స్ ప్రకారం, దాని నిరూపణ చాలా చిన్నది, ఇంటర్‌పోలేషన్ డిటర్మినెంట్ ను ఉపయోగిస్తుంది — అతీంద్రియ (transcendental) సంఖ్యల సిద్ధాంతంలో సుపరిచితమైన సాధనం — L-ప్రమేయాల గురించి ఒకే ఒక శాస్త్రీయ అసమానత అవసరం. కానీ అది విరోధాభాసం (contradiction) ద్వారా వాదిస్తుంది, ఏ స్థిరాంకానికీ సంఖ్యా విలువ ఇవ్వదు.

పూర్తిగా రాసిన నిరూపణ

బ్యాంక్స్ ఆలోచనల విషయంలో ఎలాంటి మౌలికతనూ చెప్పుకోరు. వాదనను అందుబాటులోకి తేవడం, దాన్ని ధృవీకరించడం లక్ష్యం, ప్రతి అడుగునూ రాసిన ప్రత్యక్ష నిరూపణగా. కొత్తవి స్పష్టమైన సంఖ్యలు:

ప్రతి కండక్టర్ q ≥ 10¹⁰ కి (1 − β) log q ≥ 0.003

చిన్న కండక్టర్ల కోసం లు, జమాన్, ఝావో చేసిన కంప్యూటర్ శోధనతో కలిపితే — దాన్ని తాను ధృవీకరించలేదని బ్యాంక్స్ తెలిపారు — ఈ హద్దు 3 నుంచి పైన ప్రతి కండక్టర్‌కూ వర్తిస్తుంది.

ఉచ్చు ఎలా బిగుసుకుంటుంది

ఈ నిరూపణ ఒక పూర్ణసంఖ్యను దానికే వ్యతిరేకంగా నిలబెడుతుంది.

• పక్షపాతంతో కూడిన ప్రధాన సంఖ్యల లెక్క. ఒక వాస్తవ శూన్యం 1 కి చాలా దగ్గరగా ఉంటే, దాదాపు అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు p కి χ(p) = −1. ఇది శాస్త్రీయమైనది, శూన్యం ప్రవేశించే ఏకైక చోటు ఇదే.
• ఒక డిటర్మినెంట్. 2 వర్గమూలం నుంచి, χ కి అనుబంధమైన వర్గమూలం నుంచి నిర్మించిన సంఖ్యా వ్యవస్థలో, బ్యాంక్స్ జాగ్రత్తగా ఎంచుకున్న సంఖ్యల ఘాతాలతో ఒక భారీ డిటర్మినెంట్ Δ ను కూర్చుతారు. దాని “నార్మ్” ఒక సున్నా కాని పూర్ణసంఖ్య.
• ఒకేసారి మరీ పెద్దది, మరీ చిన్నది. పరిమాణం గురించిన ఒక హద్దు ఈ పూర్ణసంఖ్య చాలా పెద్దది కాలేదని చెబుతుంది. కానీ χ(p) = −1 అయ్యే ప్రతి ప్రధాన సంఖ్య p వద్ద, ఫ్రోబీనియస్ సర్వసమానత అనే బీజగణిత నియమం Δ ను p యొక్క అధిక ఘాతాలతో భాగించగలిగేలా చేస్తుంది. దాదాపు అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలూ ఇలా ప్రవర్తిస్తే — 1 దగ్గరి శూన్యం బలవంతంగా అలా చేయిస్తుంది — ఆ పూర్ణసంఖ్యకు దాని పరిమాణం అనుమతించే దానికంటే ఎక్కువ ప్రధాన కారణాంకాలు కావాల్సి వస్తుంది.

శూన్యం 1 నుంచి కనీస దూరాన్ని పాటిస్తేనే ఈ విరోధాభాసం మాయమవుతుంది. బ్యాంక్స్ మాటల్లో, కీలకమైన ఉపాయం ఏమిటంటే సహాయక సంఖ్య 2 కేవలం మూడు చరరాశులను ఉంచుతూనే జాలక (lattice) ర్యాంకును నాలుగుకు పెంచుతుంది.

ఇప్పుడు, తనిఖీ

పందెం చాలా పెద్దది, బ్యాంక్స్ ఆ మాట చెబుతారు: “ఈ ప్రతిపాదన ప్రాముఖ్యత దృష్ట్యా, స్వతంత్ర పరిశీలన తప్పనిసరి; ఆ పరిశీలనను వీలైనంత సులభం చేయడానికే ఈ పత్రం రాయబడింది.” ప్రతి వరుసనూ తాను వ్యక్తిగతంగా ధృవీకరించానని బ్యాంక్స్ రాశారు, వాదన సరైనదని నమ్ముతారు. ఈ ఫలితాన్ని ఇంకా ఇతర గణిత శాస్త్రవేత్తలు సమీక్షించలేదు, ఈ రచనలో చాలా భాగం ఒక ఏఐ వ్యవస్థ సహాయంతో తయారైంది. తదుపరి అడుగు సంఖ్యా సిద్ధాంత సమాజానిదే.