OPENAI DICE QUE UN CERO TEMIDO NO EXISTE: UN MATEMÁTICO LO COMPRUEBA

Conflicto de intereses. El artículo indica que el gran modelo de lenguaje Claude, creado por Anthropic, se usó durante toda su preparación: elaboró un informe sobre el manuscrito de OpenAI y un borrador ampliado de la demostración que sirve de base al texto, calculó las constantes explícitas y ayudó a verificar la demostración. Este artículo también lo ha escrito Claude. El resultado de fondo se atribuye a OpenAI, competidor de Anthropic. Ninguno de estos hechos hace que la demostración sea correcta o incorrecta; eso deben juzgarlo matemáticos independientes.

Los especialistas en teoría de números estudian cómo se distribuyen los números primos con herramientas llamadas funciones L de Dirichlet, L(s, χ), cada una asociada a un «carácter» χ con un «conductor» q. Los puntos donde estas funciones se anulan son sus ceros.

Para los caracteres reales, nunca se ha descartado una posibilidad incómoda: un único cero real β situado extremadamente cerca de 1. Se le llama cero de Landau-Siegel. Si tales ceros existen o no, señala el artículo, es uno de los problemas centrales de la teoría analítica de números, porque impiden estimaciones uniformes de los primos en progresiones aritméticas y cotas inferiores efectivas para los «números de clases» de los cuerpos cuadráticos.

Las respuestas parciales conocidas dejan todas algo fuera. Siegel demostró en 1935 que un cero así no puede estar demasiado cerca de 1, pero el método no permite calcular cuánto. Page demostró que, hasta cualquier tamaño dado, como mucho un carácter real puede tener un cero así. Trabajos posteriores de Goldfeld, y de Gross y Zagier, dieron cotas efectivas para los números de clases, pero, según el artículo, mucho más débiles que las que daría descartar estos ceros.

La afirmación de OpenAI

Un manuscrito de OpenAI, fechado el 1 de octubre de 2026, afirma que los ceros de Landau-Siegel no existen: hay una constante fija c > 0 tal que (1 − β) log q ≥ c para todo cero real, donde q es el «conductor» del carácter. Según William Banks, de la Universidad de Misuri, su demostración es bastante corta, usa un determinante de interpolación —una herramienta conocida de la teoría de los números trascendentes— y solo necesita una desigualdad clásica sobre las funciones L. Pero razona por reducción al absurdo y no da ningún valor numérico para ninguna constante.

Una demostración escrita por completo

Banks no reivindica ninguna originalidad en las ideas. El objetivo es hacer accesible el argumento y confirmarlo, como una demostración directa en la que cada paso está escrito. Lo nuevo son cifras explícitas:

(1 − β) log q ≥ 0,003 para todo conductor q ≥ 10¹⁰

Combinada con una búsqueda por ordenador de Lu, Zaman y Zhao para conductores más pequeños —que Banks indica no haber verificado—, la cota valdría para todo conductor a partir de 3.

Cómo se cierra la trampa

La demostración enfrenta a un número entero consigo mismo.

• Un recuento de primos sesgado. Si un cero real estuviera muy cerca de 1, entonces χ(p) = −1 para casi todos los primos p. Esto es clásico, y es el único lugar donde interviene el cero.
• Un determinante. En un sistema de números construido a partir de la raíz cuadrada de 2 y de la raíz cuadrada asociada a χ, Banks ensambla un enorme determinante Δ a partir de potencias de números elegidos con cuidado. Su «norma» es un entero no nulo.
• Demasiado grande y demasiado pequeño a la vez. Una cota de tamaño dice que este entero no puede ser muy grande. Pero en cada primo p con χ(p) = −1, una regla algebraica llamada congruencia de Frobenius hace que Δ sea divisible por potencias altas de p. Si casi todos los primos se comportan así —como forzaría un cero cercano a 1—, el entero necesitaría más factores primos de los que su tamaño permite.

La contradicción solo desaparece si el cero mantiene una distancia mínima respecto a 1. En palabras de Banks, el truco clave es que el número auxiliar 2 eleva el rango de la red a cuatro manteniendo solo tres variables.

Ahora, la verificación

Hay mucho en juego, y Banks lo dice: «Dada la importancia del enunciado, un examen independiente es imprescindible; este artículo está escrito para que ese examen sea lo más fácil posible». Banks escribe que ha verificado personalmente cada línea y cree que el argumento es sólido. El resultado aún no ha sido revisado por otros matemáticos, y buena parte de este texto se preparó con ayuda de un sistema de IA. El siguiente paso corresponde a la comunidad de la teoría de números.