OpenAI کا دعویٰ کہ ایک خوفناک صفر کبھی موجود نہیں — ایک ریاضی دان جانچ کرتا ہے

مفادات کا ٹکراؤ۔ مقالے میں بتایا گیا ہے کہ Anthropic کا بنایا ہوا بڑا لسانی ماڈل Claude اس کی تیاری میں شروع سے آخر تک استعمال ہوا: اس نے OpenAI کے مسودے پر ایک رپورٹ تیار کی اور ثبوت کا ایک پھیلا ہوا مسودہ لکھا جو متن کی بنیاد ہے، واضح مستقل اعداد نکالے، اور ثبوت جانچنے میں مدد کی۔ یہ مضمون بھی Claude نے لکھا ہے۔ بنیادی نتیجہ OpenAI سے منسوب ہے، جو Anthropic کا حریف ہے۔ ان میں سے کوئی بھی حقیقت ثبوت کو درست یا غلط نہیں بناتی؛ اس کا فیصلہ آزاد ریاضی دانوں کو کرنا ہے۔

نظریۂ اعداد کے ماہرین مفرد اعداد کی تقسیم کا مطالعہ ڈیریکلے L-فنکشنز، L(s, χ)، نامی آلات سے کرتے ہیں، جن میں سے ہر ایک کسی “کریکٹر” χ سے جڑا ہوتا ہے جس کا ایک “کنڈکٹر” q ہوتا ہے۔ وہ مقامات جہاں یہ فنکشنز صفر ہو جاتے ہیں، ان کے صفر (zeros) کہلاتے ہیں۔

حقیقی کریکٹرز کے لیے ایک ناگوار امکان کبھی رد نہیں کیا جا سکا: ایک واحد حقیقی صفر β جو 1 کے انتہائی قریب ہو۔ اسے لانداؤ–سیگل صفر کہا جاتا ہے۔ مقالہ نوٹ کرتا ہے کہ ایسے صفر موجود ہیں یا نہیں، یہ تجزیاتی نظریۂ اعداد کا ایک مرکزی مسئلہ ہے، کیونکہ یہ حسابی تسلسلات (arithmetic progressions) میں مفرد اعداد کے یکساں تخمینوں اور دو درجی میدانوں (quadratic fields) کے “کلاس نمبرز” کی مؤثر کم از کم حدوں کی راہ میں رکاوٹ ہیں۔

تمام معلوم جزوی جوابات میں کچھ نہ کچھ رہ جاتا ہے۔ سیگل نے 1935 میں دکھایا کہ ایسا صفر 1 کے بہت زیادہ قریب نہیں ہو سکتا، لیکن اس طریقے سے یہ حساب لگانے کا کوئی راستہ نہیں ملتا کہ کتنا قریب۔ پیج نے دکھایا کہ کسی بھی دی گئی حد تک، زیادہ سے زیادہ ایک حقیقی کریکٹر کا ایسا صفر ہو سکتا ہے۔ گولڈفیلڈ کے، اور گراس اور زاگیئر کے بعد کے کام نے کلاس نمبرز کی مؤثر حدیں دیں — لیکن، مقالے کے مطابق، ان صفروں کو رد کرنے سے ملنے والی حدوں سے کہیں کمزور۔

OpenAI کا دعویٰ

OpenAI کا ایک مسودہ، جس پر 1 اکتوبر 2026 کی تاریخ ہے، دعویٰ کرتا ہے کہ لانداؤ–سیگل صفر موجود نہیں: ایک مقررہ مستقل c > 0 موجود ہے کہ ہر حقیقی صفر کے لیے (1 − β) log q ≥ c ہو، جہاں q کریکٹر کا “کنڈکٹر” ہے۔ یونیورسٹی آف میسوری کے ولیم بینکس کے مطابق اس کا ثبوت کافی مختصر ہے، ایک انٹرپولیشن ڈیٹرمیننٹ استعمال کرتا ہے — جو ماورائی اعداد (transcendental numbers) کے نظریے سے معروف ایک آلہ ہے — اور L-فنکشنز کے بارے میں صرف ایک کلاسیکی عدم مساوات کا محتاج ہے۔ لیکن یہ تضاد کے ذریعے دلیل دیتا ہے اور کسی بھی مستقل کی کوئی عددی قدر نہیں دیتا۔

مکمل لکھا ہوا ثبوت

بینکس خیالات کے لیے کسی جدت کا دعویٰ نہیں کرتے۔ مقصد دلیل کو قابلِ فہم بنانا اور اس کی تصدیق کرنا ہے، ایک ایسے براہِ راست ثبوت کے طور پر جس میں ہر قدم لکھا گیا ہو۔ نئی چیز واضح اعداد ہیں:

ہر کنڈکٹر q ≥ 10¹⁰ کے لیے (1 − β) log q ≥ 0.003

چھوٹے کنڈکٹرز کے لیے لو، زمان اور ژاؤ کی کمپیوٹر تلاش کے ساتھ ملا کر — جس کی بینکس کے بقول انہوں نے تصدیق نہیں کی — یہ حد 3 اور اس سے اوپر کے ہر کنڈکٹر کے لیے درست ہوگی۔

پھندا کیسے بند ہوتا ہے

یہ ثبوت ایک صحیح عدد کو خود اس کے مقابل لا کھڑا کرتا ہے۔

• مفرد اعداد کی جانبدار گنتی۔ اگر کوئی حقیقی صفر 1 کے بہت قریب ہوتا تو تقریباً تمام مفرد اعداد p کے لیے χ(p) = −1 ہوتا۔ یہ کلاسیکی بات ہے، اور یہی وہ واحد جگہ ہے جہاں صفر دلیل میں داخل ہوتا ہے۔
• ایک ڈیٹرمیننٹ۔ 2 کے جذرِ مربع اور χ سے جڑے جذرِ مربع سے بنے ایک عددی نظام میں، بینکس احتیاط سے چنے گئے اعداد کی طاقتوں سے ایک بہت بڑا ڈیٹرمیننٹ Δ تیار کرتے ہیں۔ اس کا “نارم” ایک غیر صفر صحیح عدد ہے۔
• بیک وقت بہت بڑا اور بہت چھوٹا۔ سائز کی ایک حد کہتی ہے کہ یہ صحیح عدد بہت بڑا نہیں ہو سکتا۔ لیکن ہر اس مفرد عدد p پر جس کے لیے χ(p) = −1 ہو، فروبینیئس کانگروئنس نامی ایک الجبری قاعدہ Δ کو p کی اونچی طاقتوں سے قابلِ تقسیم بنا دیتا ہے۔ اگر تقریباً تمام مفرد اعداد ایسا برتاؤ کریں — جیسا کہ 1 کے قریب کا صفر مجبور کرے گا — تو اس صحیح عدد کو اپنے سائز کی اجازت سے زیادہ مفرد اجزائے ضربی درکار ہوں گے۔

یہ تضاد صرف اسی صورت میں ختم ہوتا ہے جب صفر 1 سے کم از کم ایک فاصلہ رکھے۔ بینکس کے الفاظ میں کلیدی چال یہ ہے کہ معاون عدد 2 جالی (lattice) کا رتبہ (rank) چار تک بڑھا دیتا ہے جبکہ متغیرات صرف تین رہتے ہیں۔

اب، جانچ

داؤ بہت اونچا ہے، اور بینکس یہ کہتے بھی ہیں: “بیان کی اہمیت کے پیشِ نظر آزادانہ جانچ ناگزیر ہے؛ یہ مقالہ اس جانچ کو ہر ممکن حد تک آسان بنانے کے لیے لکھا گیا ہے۔” بینکس لکھتے ہیں کہ انہوں نے ہر سطر کی ذاتی طور پر تصدیق کی ہے اور وہ دلیل کو درست سمجھتے ہیں۔ دوسرے ریاضی دانوں نے ابھی اس نتیجے کا جائزہ نہیں لیا، اور اس تحریر کا بڑا حصہ ایک اے آئی نظام کی مدد سے تیار کیا گیا ہے۔ اگلا قدم نظریۂ اعداد کی برادری کا ہے۔