OpenAI称一个令人担忧的零点并不存在——一位数学家来核查

利益冲突。 论文声明，在其整个准备过程中都使用了Anthropic开发的大语言模型Claude：它撰写了一份关于OpenAI手稿的报告，以及构成正文基础的证明扩展草稿，推导出了明确的常数，并协助检查了证明。本文同样由Claude撰写。这一基础结果归功于Anthropic的竞争对手OpenAI。这两点都不能决定证明是对是错；这需要由独立的数学家来判断。

数论学家借助名为狄利克雷L函数L(s, χ)的工具来研究素数的分布，每个L函数都与一个“导子”为q的“特征”χ相关联。这些函数取值为零的地方就是它们的零点。

对于实特征，有一种棘手的可能性始终未能被排除：存在一个极其接近1的实零点β。它被称为朗道–西格尔零点。论文指出，这类零点是否存在，是解析数论的核心问题之一，因为它们阻碍了对算术级数中素数的一致估计，也阻碍了对二次域“类数”的有效下界。

已知的部分答案都留有缺口。西格尔在1935年证明，这样的零点不能过于接近1，但这一方法无法计算出究竟有多接近。佩奇证明，在任意给定的范围内，至多只有一个实特征可能拥有这样的零点。后来戈德菲尔德以及格罗斯和扎吉尔的工作给出了类数的有效界——但论文指出，这些界远弱于排除这类零点所能得到的结果。

OpenAI的主张

OpenAI的一份日期为2026年10月1日的手稿断言，朗道–西格尔零点并不存在：存在一个固定常数c > 0，使得对每个实零点都有(1 − β) log q ≥ c，其中q是特征的“导子”。据密苏里大学的William Banks介绍，其证明相当简短，使用了一个插值行列式——超越数理论中常见的工具——并且只需要一个关于L函数的经典不等式。但它采用反证法，没有给出任何常数的数值。

一份完整写出的证明

Banks并不声称这些想法是原创的。他的目标是让这一论证易于理解，并通过一个每一步都写出来的直接证明加以确认。新的内容是明确的数值：

对每个导子 q ≥ 10¹⁰，有 (1 − β) log q ≥ 0.003

结合Lu、Zaman和Zhao针对较小导子所做的计算机搜索——Banks表示自己没有核验这一搜索——这一界将对从3开始的每个导子都成立。

陷阱如何收紧

这一证明让一个整数与它自己作对。

• 一个有偏的素数计数。 如果有一个实零点非常接近1，那么对几乎所有素数p都有χ(p) = −1。这是经典结果，也是零点进入论证的唯一位置。
• 一个行列式。 在一个由2的平方根和与χ相关的平方根构造的数系中，Banks用精心挑选的数的幂组装出一个巨大的行列式Δ。它的“范数”是一个非零整数。
• 既太大又太小。 一个大小界表明这个整数不可能很大。但在每个满足χ(p) = −1的素数p处，一条称为弗罗贝尼乌斯同余的代数规则使Δ能被p的高次幂整除。如果几乎所有素数都表现如此——正如接近1的零点所迫使的那样——这个整数所需的素因子就会比它的大小所允许的更多。

只有当零点与1保持一个最小距离时，矛盾才会消失。用Banks的话说，关键的技巧在于，辅助数2把格的秩提高到4，同时只保留三个变量。

接下来，是核查

事关重大，Banks自己也这样说：“鉴于这一命题的重要性，独立审查必不可少；撰写本文就是为了让这种审查尽可能容易。”Banks写道，他亲自核验了每一行，并相信这一论证是成立的。这一结果尚未经过其他数学家的审查，而且这份文稿的大部分是在一个AI系统的帮助下准备的。下一步属于数论学界。