A OPENAI DIZ QUE UM ZERO TEMIDO NÃO EXISTE — UM MATEMÁTICO VERIFICA

Conflito de interesses. O artigo informa que o grande modelo de linguagem Claude, criado pela Anthropic, foi usado em toda a sua preparação: ele produziu um relatório sobre o manuscrito da OpenAI e um rascunho ampliado da prova que serve de base ao texto, calculou as constantes explícitas e ajudou a verificar a prova. Este artigo também foi escrito pelo Claude. O resultado de fundo é atribuído à OpenAI, concorrente da Anthropic. Nenhum desses fatos torna a prova certa ou errada; isso cabe a matemáticos independentes julgar.

Os teóricos dos números estudam como os números primos se distribuem com ferramentas chamadas funções L de Dirichlet, L(s, χ), cada uma associada a um “caráter” χ com um “condutor” q. Os pontos onde essas funções se anulam são os seus zeros.

Para os caracteres reais, uma possibilidade incômoda nunca foi descartada: um único zero real β situado extremamente perto de 1. Ele é chamado de zero de Landau–Siegel. Saber se tais zeros existem, observa o artigo, é um dos problemas centrais da teoria analítica dos números, porque eles bloqueiam estimativas uniformes para os primos em progressões aritméticas e cotas inferiores efetivas para os “números de classes” dos corpos quadráticos.

As respostas parciais conhecidas deixam todas algo de fora. Siegel mostrou, em 1935, que tal zero não pode estar perto demais de 1, mas o método não oferece maneira de calcular quão perto. Page mostrou que, até qualquer tamanho dado, no máximo um caráter real pode ter tal zero. Trabalhos posteriores de Goldfeld, e de Gross e Zagier, deram cotas efetivas para os números de classes — mas, diz o artigo, muito mais fracas do que aquelas que a exclusão desses zeros forneceria.

A afirmação da OpenAI

Um manuscrito da OpenAI, datado de 1º de outubro de 2026, afirma que os zeros de Landau–Siegel não existem: há uma constante fixa c > 0 tal que (1 − β) log q ≥ c para todo zero real, onde q é o “condutor” do caráter. Segundo William Banks, da Universidade do Missouri, sua prova é bastante curta, usa um determinante de interpolação — ferramenta conhecida da teoria dos números transcendentes — e precisa de apenas uma desigualdade clássica sobre as funções L. Mas ela raciocina por contradição e não dá nenhum valor numérico para nenhuma constante.

Uma prova escrita por inteiro

Banks não reivindica nenhuma originalidade nas ideias. O objetivo é tornar o argumento acessível e confirmá-lo, como uma prova direta em que cada passo está escrito. O que é novo são números explícitos:

(1 − β) log q ≥ 0,003 para todo condutor q ≥ 10¹⁰

Combinada com uma busca por computador de Lu, Zaman e Zhao para condutores menores — que Banks diz não ter verificado —, a cota valeria para todo condutor a partir de 3.

Como a armadilha se fecha

A prova joga um número inteiro contra si mesmo.

• Uma contagem de primos enviesada. Se um zero real estivesse muito perto de 1, então χ(p) = −1 para quase todos os primos p. Isso é clássico, e é o único ponto em que o zero entra.
• Um determinante. Num sistema numérico construído a partir da raiz quadrada de 2 e da raiz quadrada associada a χ, Banks monta um enorme determinante Δ com potências de números cuidadosamente escolhidos. Sua “norma” é um inteiro diferente de zero.
• Grande e pequeno demais ao mesmo tempo. Uma cota de tamanho diz que esse inteiro não pode ser muito grande. Mas em cada primo p com χ(p) = −1, uma regra algébrica chamada congruência de Frobenius torna Δ divisível por potências altas de p. Se quase todos os primos se comportassem assim — como um zero perto de 1 obrigaria —, o inteiro precisaria de mais fatores primos do que seu tamanho permite.

A contradição só desaparece se o zero mantiver uma distância mínima de 1. Nas palavras de Banks, o truque-chave é que o número auxiliar 2 eleva o posto do reticulado para quatro, mantendo apenas três variáveis.

Agora, a verificação

O que está em jogo é grande, e Banks o diz: “Tendo em vista a importância do enunciado, um exame independente é essencial; este artigo foi escrito para tornar esse exame o mais fácil possível.” Banks escreve que verificou pessoalmente cada linha e acredita que o argumento é sólido. O resultado ainda não foi revisado por outros matemáticos, e boa parte desta redação foi preparada com a ajuda de um sistema de IA. O próximo passo cabe à comunidade da teoria dos números.