भीतीदायक शून्य अस्तित्वातच नाही, असे OpenAI म्हणते — एक गणितज्ञ तपासतो

हितसंबंधांचा संघर्ष. शोधनिबंधात नमूद केले आहे की Anthropic ने बनवलेले Claude हे मोठे भाषा मॉडेल त्याच्या तयारीत सुरुवातीपासून शेवटपर्यंत वापरले गेले: त्याने OpenAI च्या हस्तलिखितावर एक अहवाल आणि मजकुराचा पाया ठरलेला सिद्धतेचा विस्तारित मसुदा तयार केला, स्पष्ट स्थिरांक काढले, आणि सिद्धता तपासण्यास मदत केली. हा लेखही Claude ने लिहिला आहे. मूळ निकालाचे श्रेय OpenAI ला दिले जाते, जी Anthropic ची स्पर्धक आहे. यांपैकी कोणतीही गोष्ट सिद्धता बरोबर किंवा चूक ठरवत नाही; ते स्वतंत्र गणितज्ञांनी ठरवायचे आहे.

संख्या सिद्धांतज्ञ मूळ संख्या कशा वितरित झाल्या आहेत याचा अभ्यास डिरिक्ले L-फलने (Dirichlet L-functions), L(s, χ), या साधनांनी करतात. प्रत्येक फल एका “कंडक्टर” q असलेल्या “कॅरेक्टर” χ शी जोडलेले असते. ही फले ज्या ठिकाणी शून्य होतात, ती त्यांची शून्ये (zeros).

वास्तव कॅरेक्टर्ससाठी एक अडचणीची शक्यता कधीच नाकारता आलेली नाही: 1 च्या अतिशय जवळ असलेले एकच वास्तव शून्य β. त्याला लँडाऊ–सीगल शून्य म्हणतात. शोधनिबंध नमूद करतो की असे शून्य अस्तित्वात आहेत की नाही ही विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांतातील एक केंद्रीय समस्या आहे, कारण ते अंकगणितीय श्रेढींमधील मूळ संख्यांसाठीचे एकसमान अंदाज आणि द्विघाती क्षेत्रांच्या “वर्ग संख्यांसाठी” (class numbers) प्रभावी किमान मर्यादा मिळवण्यात अडथळा आणतात.

ज्ञात आंशिक उत्तरे सर्वच काहीतरी सोडून देतात. सीगल यांनी 1935 मध्ये दाखवले की असे शून्य 1 च्या फार जवळ असू शकत नाही, पण ते किती जवळ आहे हे मोजण्याचा कोणताही मार्ग ती पद्धत देत नाही. पेज यांनी दाखवले की कोणत्याही दिलेल्या आकारापर्यंत, जास्तीत जास्त एकाच वास्तव कॅरेक्टरला असे शून्य असू शकते. नंतर गोल्डफेल्ड यांच्या, आणि ग्रॉस व झागियर यांच्या कामाने वर्ग संख्यांवर प्रभावी मर्यादा दिल्या — पण शोधनिबंधाच्या मते, ही शून्ये नाकारल्याने मिळतील त्यापेक्षा त्या खूपच कमकुवत आहेत.

OpenAI चा दावा

OpenAI चे 1 ऑक्टोबर 2026 दिनांकाचे एक हस्तलिखित असा दावा करते की लँडाऊ–सीगल शून्ये अस्तित्वात नाहीत: असा एक निश्चित स्थिरांक c > 0 आहे की प्रत्येक वास्तव शून्यासाठी (1 − β) log q ≥ c, जिथे q हा कॅरेक्टरचा “कंडक्टर” आहे. मिसूरी विद्यापीठाचे विल्यम बँक्स यांच्या मते, त्याची सिद्धता बरीच लहान आहे, ती इंटरपोलेशन डिटर्मिनंट वापरते — अबीजीय (transcendental) संख्यांच्या सिद्धांतातील एक परिचित साधन — आणि तिला L-फलनांबद्दलची फक्त एक अभिजात असमानता लागते. पण ती विरोधाभासाने (contradiction) युक्तिवाद करते आणि कोणत्याही स्थिरांकाचे कोणतेही संख्यात्मक मूल्य देत नाही.

पूर्णपणे लिहून काढलेली सिद्धता

बँक्स कल्पनांबद्दल कोणतीही मौलिकता असल्याचा दावा करत नाहीत. युक्तिवाद समजण्याजोगा करणे आणि त्याची पुष्टी करणे हे उद्दिष्ट आहे, प्रत्येक पायरी लिहून काढलेल्या थेट सिद्धतेच्या रूपात. नवीन आहेत ते स्पष्ट आकडे:

प्रत्येक कंडक्टर q ≥ 10¹⁰ साठी (1 − β) log q ≥ 0.003

लहान कंडक्टर्ससाठी लु, झमान आणि झाओ यांनी केलेल्या संगणकीय शोधासोबत — ज्याची पडताळणी आपण केलेली नाही असे बँक्स नमूद करतात — ही मर्यादा 3 पासून पुढे प्रत्येक कंडक्टरसाठी लागू होईल.

सापळा कसा बंद होतो

ही सिद्धता एका पूर्णांकाला स्वतःविरुद्धच उभे करते.

• पक्षपाती मूळ-संख्या मोजणी. जर एखादे वास्तव शून्य 1 च्या अगदी जवळ असेल, तर जवळजवळ सर्व मूळ संख्या p साठी χ(p) = −1. हे अभिजात आहे, आणि शून्य फक्त इथेच प्रवेश करते.
• एक डिटर्मिनंट. 2 च्या वर्गमुळापासून आणि χ शी जोडलेल्या वर्गमुळापासून बनवलेल्या संख्या-प्रणालीत, बँक्स काळजीपूर्वक निवडलेल्या संख्यांच्या घातांपासून एक प्रचंड डिटर्मिनंट Δ रचतात. त्याचा “नॉर्म” हा एक शून्येतर पूर्णांक असतो.
• एकाच वेळी खूप मोठा आणि खूप लहान. आकाराबद्दलची एक मर्यादा सांगते की हा पूर्णांक फार मोठा असू शकत नाही. पण χ(p) = −1 असलेल्या प्रत्येक मूळ संख्या p वर, फ्रोबेनियस काँग्रुएन्स नावाचा एक बीजगणितीय नियम Δ ला p च्या उच्च घातांनी विभाज्य बनवतो. जर जवळजवळ सर्व मूळ संख्या अशा वागल्या — जसे 1 जवळचे शून्य त्यांना भाग पाडेल — तर त्या पूर्णांकाला त्याच्या आकारापेक्षा अधिक मूळ अवयवांची गरज भासेल.

शून्याने 1 पासून किमान अंतर राखले तरच हा विरोधाभास नाहीसा होतो. बँक्स यांच्या शब्दांत, मुख्य युक्ती अशी आहे की सहायक संख्या 2 फक्त तीन चल ठेवून जालकाचा (lattice) क्रम चारपर्यंत वाढवते.

आता, तपासणी

पणाला खूप काही लागले आहे, आणि बँक्स तसे स्पष्ट म्हणतात: “या विधानाचे महत्त्व पाहता, स्वतंत्र छाननी अत्यावश्यक आहे; ही छाननी शक्य तितकी सोपी व्हावी यासाठीच हा शोधनिबंध लिहिला आहे.” बँक्स लिहितात की त्यांनी प्रत्येक ओळ स्वतः तपासली आहे आणि हा युक्तिवाद योग्य आहे असे त्यांना वाटते. या निकालाचे अद्याप इतर गणितज्ञांनी परीक्षण केलेले नाही, आणि हे लेखन बहुतांशी एका एआय प्रणालीच्या मदतीने तयार केले गेले. पुढचे पाऊल संख्या सिद्धांत समुदायाचे आहे.