OPENAI AFFIRME QU'UN ZÉRO REDOUTÉ N'EXISTE PAS — UN MATHÉMATICIEN VÉRIFIE

Conflit d’intérêts. Le papier indique que le grand modèle de langage Claude, conçu par Anthropic, a été utilisé tout au long de sa préparation : il a produit un rapport sur le manuscrit d’OpenAI et un brouillon développé de la preuve qui sert de base au texte, a calculé les constantes explicites et a aidé à vérifier la preuve. Cet article est lui aussi écrit par Claude. Le résultat de départ est attribué à OpenAI, concurrent d’Anthropic. Aucun de ces faits ne rend la preuve juste ou fausse : c’est aux mathématiciens indépendants d’en juger.

Les spécialistes de théorie des nombres étudient la répartition des nombres premiers avec des outils appelés fonctions L de Dirichlet, L(s, χ), chacune attachée à un « caractère » χ de « conducteur » q. Les points où ces fonctions s’annulent sont leurs zéros.

Pour les caractères réels, une possibilité gênante n’a jamais été exclue : un unique zéro réel β situé extrêmement près de 1. On l’appelle un zéro de Landau–Siegel. Savoir s’il en existe est, note le papier, l’un des problèmes centraux de la théorie analytique des nombres, car ces zéros bloquent des estimations uniformes pour les nombres premiers dans les progressions arithmétiques et des minorations effectives des « nombres de classes » des corps quadratiques.

Les réponses partielles connues laissent toutes quelque chose de côté. Siegel, en 1935, a montré qu’un tel zéro ne peut pas être trop proche de 1, mais sa méthode ne permet pas de calculer à quel point. Page a montré que, jusqu’à une taille donnée, au plus un caractère réel peut avoir un tel zéro. Plus tard, les travaux de Goldfeld, puis de Gross et Zagier, ont donné des bornes effectives sur les nombres de classes — mais, dit le papier, bien plus faibles que ce que donnerait l’exclusion de ces zéros.

L’annonce d’OpenAI

Un manuscrit d’OpenAI, daté du 1er octobre 2026, affirme que les zéros de Landau–Siegel n’existent pas : il existe une constante fixe c > 0 telle que (1 − β) log q ≥ c pour tout zéro réel. Selon William Banks, de l’université du Missouri, sa preuve est assez courte, repose sur un déterminant d’interpolation — un outil familier de la théorie des nombres transcendants — et n’a besoin que d’une inégalité classique sur les fonctions L. Mais elle raisonne par l’absurde et ne donne aucune valeur numérique pour aucune constante.

Une preuve écrite en entier

Banks ne revendique aucune originalité pour les idées. Le but est de rendre l’argument accessible et de le confirmer, sous forme de preuve directe où chaque étape est écrite. Ce qui est nouveau, ce sont des chiffres explicites :

(1 − β) log q ≥ 0,003 pour tout conducteur q ≥ 10¹⁰

Combinée à une recherche par ordinateur de Lu, Zaman et Zhao pour les conducteurs plus petits — que Banks indique ne pas avoir vérifiée —, la borne vaudrait pour tout conducteur à partir de 3.

Comment le piège se referme

La preuve oppose un nombre entier à lui-même.

• Un comptage de premiers biaisé. Si un zéro réel se trouvait tout près de 1, alors χ(p) = −1 pour presque tous les nombres premiers p. C’est classique, et c’est le seul endroit où le zéro intervient.
• Un déterminant. Dans un système de nombres construit à partir de la racine carrée de 2 et de la racine carrée attachée à χ, Banks assemble un énorme déterminant Δ à partir de puissances de nombres soigneusement choisis. Sa « norme » est un entier non nul.
• Trop grand et trop petit à la fois. Une borne de taille dit que cet entier ne peut pas être très grand. Mais pour chaque premier p tel que χ(p) = −1, une règle algébrique, la congruence de Frobenius, rend Δ divisible par de fortes puissances de p. Si presque tous les premiers se comportent ainsi — ce qu’imposerait un zéro proche de 1 —, l’entier aurait besoin de plus de facteurs premiers que sa taille ne le permet.

La contradiction ne disparaît que si le zéro garde une distance minimale avec 1. Selon Banks, l’astuce clé est que le nombre auxiliaire 2 élève le rang du réseau à quatre tout en ne gardant que trois variables.

Place à la vérification

L’enjeu est considérable, et Banks le dit : « Au vu de l’importance de l’énoncé, un examen indépendant est essentiel ; ce papier est écrit pour rendre cet examen aussi facile que possible. » Banks écrit avoir vérifié personnellement chaque ligne et juge l’argument solide. Le résultat n’a pas encore été examiné par d’autres mathématiciens, et une grande partie de cette rédaction a été préparée avec l’aide d’un système d’IA. La suite appartient à la communauté des théoriciens des nombres.