OPENAI KORKULAN BİR SIFIRIN HİÇ VAR OLMADIĞINI SÖYLÜYOR — BİR MATEMATİKÇİ KONTROL EDİYOR

Çıkar çatışması. Makale, Anthropic’in geliştirdiği büyük dil modeli Claude’un hazırlık süreci boyunca kullanıldığını belirtiyor: OpenAI’ın el yazması hakkında bir rapor ve metnin temelini oluşturan genişletilmiş bir ispat taslağı üretti, açık sabitleri hesapladı ve ispatın kontrolüne yardım etti. Bu makaleyi de Claude yazıyor. Temeldeki sonuç, Anthropic’in rakibi OpenAI’a atfediliyor. Bu olguların hiçbiri ispatı doğru ya da yanlış yapmaz; buna bağımsız matematikçiler karar verecek.

Sayı kuramcıları asal sayıların nasıl dağıldığını Dirichlet L-fonksiyonları, L(s, χ), denen araçlarla inceler; her biri q “iletkenli” (conductor) bir χ “karakterine” bağlıdır. Bu fonksiyonların sıfır olduğu yerler onların sıfırlarıdır.

Reel karakterler için, hiçbir zaman dışlanamamış sıkıntılı bir olasılık var: 1’e son derece yakın duran tek bir reel β sıfırı. Buna Landau–Siegel sıfırı deniyor. Makalenin belirttiğine göre böyle sıfırların var olup olmadığı analitik sayılar kuramının temel problemlerinden biri; çünkü aritmetik dizilerdeki asallar için düzgün (uniform) kestirimleri ve ikinci dereceden cisimlerin “sınıf sayıları” için etkin (effective) alt sınırları engelliyorlar.

Bilinen kısmi yanıtların hepsi bir şeyi dışarıda bırakıyor. Siegel 1935’te böyle bir sıfırın 1’e fazla yakın olamayacağını gösterdi, ama yöntem ne kadar yakın olabileceğini hesaplamanın hiçbir yolunu vermiyor. Page, verilen herhangi bir büyüklüğe kadar en fazla bir reel karakterin böyle bir sıfırı olabileceğini gösterdi. Daha sonra Goldfeld’in ve Gross ile Zagier’in çalışmaları sınıf sayıları için etkin sınırlar verdi — ama makaleye göre bunlar, bu sıfırları dışlamanın vereceğinden çok daha zayıf.

OpenAI’ın iddiası

1 Ekim 2026 tarihli bir OpenAI el yazması, Landau–Siegel sıfırlarının var olmadığını öne sürüyor: her reel sıfır için (1 − β) log q ≥ c olacak şekilde sabit bir c > 0 var; burada q karakterin “iletkeni”. University of Missouri’den William Banks’e göre ispat oldukça kısa, aşkın sayılar kuramından bilinen bir araç olan bir interpolasyon determinantı kullanıyor ve L-fonksiyonları hakkında yalnızca tek bir klasik eşitsizliğe ihtiyaç duyuyor. Ama çelişki yoluyla ilerliyor ve hiçbir sabit için sayısal bir değer vermiyor.

Tamamen yazılmış bir ispat

Banks fikirler konusunda hiçbir özgünlük iddia etmiyor. Amaç, argümanı her adımın yazıldığı doğrudan bir ispat olarak erişilebilir kılmak ve doğrulamak. Yeni olan şey açık sayılar:

her q ≥ 10¹⁰ iletkeni için (1 − β) log q ≥ 0,003

Daha küçük iletkenler için Lu, Zaman ve Zhao’nun bir bilgisayar taramasıyla birleştirildiğinde — Banks bunu doğrulamadığını belirtiyor — sınır 3’ten itibaren her iletken için geçerli olur.

Tuzak nasıl kapanıyor

İspat tek bir tam sayıyı kendisine karşı oynatıyor.

• Yanlı bir asal sayımı. Bir reel sıfır 1’e çok yakın olsaydı, neredeyse tüm p asalları için χ(p) = −1 olurdu. Bu klasik bir sonuç ve sıfırın devreye girdiği tek yer burası.
• Bir determinant. 2’nin karekökünden ve χ’ye bağlı karekökten kurulan bir sayı sisteminde Banks, özenle seçilmiş sayıların kuvvetlerinden devasa bir Δ determinantı oluşturuyor. Bunun “normu” sıfırdan farklı bir tam sayı.
• Aynı anda hem çok büyük hem çok küçük. Bir büyüklük sınırı bu tam sayının çok büyük olamayacağını söylüyor. Ama χ(p) = −1 olan her p asalında, Frobenius denkliği denen cebirsel bir kural Δ’yı p’nin yüksek kuvvetleriyle bölünebilir kılıyor. Neredeyse tüm asallar böyle davranırsa — 1’e yakın bir sıfırın zorlayacağı gibi — tam sayının, büyüklüğünün izin verdiğinden daha fazla asal çarpana sahip olması gerekirdi.

Çelişki ancak sıfır 1’den asgari bir uzaklığı koruduğunda ortadan kalkıyor. Banks’in sözleriyle kilit hile şu: yardımcı 2 sayısı, yalnızca üç değişken tutarken kafesin (lattice) rankını dörde çıkarıyor.

Şimdi sıra kontrolde

Ortada büyük bir mesele var ve Banks bunu açıkça söylüyor: “İfadenin önemi göz önüne alındığında bağımsız inceleme şarttır; bu makale o incelemeyi olabildiğince kolaylaştırmak için yazılmıştır.” Banks her satırı bizzat doğruladığını yazıyor ve argümanın sağlam olduğuna inanıyor. Sonuç henüz başka matematikçiler tarafından incelenmedi ve bu metnin büyük kısmı bir yapay zekâ sisteminin yardımıyla hazırlandı. Bir sonraki adım sayılar kuramı topluluğuna ait.