OpenAI का दावा: एक डरावना शून्यक कभी होता ही नहीं — एक गणितज्ञ जाँच करता है

हितों का टकराव। शोधपत्र बताता है कि इसकी तैयारी में शुरू से अंत तक Anthropic द्वारा बनाए गए बड़े भाषा मॉडल Claude का इस्तेमाल हुआ: इसने OpenAI की पांडुलिपि पर एक रिपोर्ट और उपपत्ति का एक विस्तारित मसौदा तैयार किया जो पाठ का आधार है, स्पष्ट स्थिरांक निकाले, और उपपत्ति की जाँच में मदद की। यह लेख भी Claude ने लिखा है। मूल नतीजे का श्रेय OpenAI को दिया गया है, जो Anthropic की प्रतिस्पर्धी है। इनमें से कोई भी तथ्य उपपत्ति को सही या ग़लत नहीं बनाता; यह स्वतंत्र गणितज्ञों को तय करना है।

संख्या-सिद्धांतकार अभाज्य संख्याओं के वितरण का अध्ययन डिरिक्ले L-फलन L(s, χ) नामक उपकरणों से करते हैं, जिनमें से हर एक किसी “कंडक्टर” q वाले एक “कैरेक्टर” χ से जुड़ा होता है। जिन बिंदुओं पर ये फलन शून्य हो जाते हैं, वे इनके शून्यक (zeros) हैं।

वास्तविक कैरेक्टरों के लिए एक असुविधाजनक संभावना को कभी ख़ारिज नहीं किया जा सका: एक अकेला वास्तविक शून्यक β जो 1 के बेहद क़रीब हो। इसे लैंडाउ–सीगल शून्यक कहा जाता है। शोधपत्र बताता है कि ऐसे शून्यक होते हैं या नहीं, यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की केंद्रीय समस्याओं में से एक है, क्योंकि वे समांतर श्रेढ़ियों में अभाज्य संख्याओं के एकसमान अनुमानों को, और द्विघाती क्षेत्रों की “क्लास संख्याओं” की प्रभावी निचली सीमाओं को, रोक देते हैं।

ज्ञात आंशिक उत्तर सभी कुछ न कुछ छोड़ देते हैं। सीगल ने 1935 में दिखाया कि ऐसा शून्यक 1 के बहुत ज़्यादा क़रीब नहीं हो सकता, लेकिन इस विधि से यह गणना करने का कोई तरीक़ा नहीं मिलता कि कितना क़रीब। पेज ने दिखाया कि किसी भी दिए गए आकार तक, ज़्यादा से ज़्यादा एक वास्तविक कैरेक्टर का ऐसा शून्यक हो सकता है। बाद में गोल्डफ़ेल्ड के, और ग्रॉस व ज़ागियर के काम ने क्लास संख्याओं पर प्रभावी सीमाएँ दीं — लेकिन, शोधपत्र कहता है, ये उस नतीजे से कहीं कमज़ोर हैं जो इन शून्यकों को ख़ारिज करने से मिलता।

OpenAI का दावा

OpenAI की 1 अक्टूबर 2026 की तारीख़ वाली एक पांडुलिपि दावा करती है कि लैंडाउ–सीगल शून्यक होते ही नहीं: एक निश्चित स्थिरांक c > 0 है जिसके लिए हर वास्तविक शून्यक पर (1 − β) log q ≥ c, जहाँ q कैरेक्टर का “कंडक्टर” है। मिसौरी विश्वविद्यालय के विलियम बैंक्स के अनुसार, इसकी उपपत्ति काफ़ी छोटी है, एक इंटरपोलेशन डिटरमिनेंट का इस्तेमाल करती है — अबीजीय (ट्रांसेंडेंटल) संख्याओं के सिद्धांत से परिचित एक उपकरण — और L-फलनों के बारे में सिर्फ़ एक शास्त्रीय असमिका की ज़रूरत रखती है। लेकिन यह विरोधाभास के ज़रिए तर्क करती है और किसी भी स्थिरांक का कोई संख्यात्मक मान नहीं देती।

पूरी तरह लिखी गई एक उपपत्ति

बैंक्स इन विचारों की मौलिकता का कोई दावा नहीं करते। लक्ष्य है तर्क को सुलभ बनाना और उसकी पुष्टि करना, एक प्रत्यक्ष उपपत्ति के रूप में जिसमें हर क़दम लिखा गया हो। नई चीज़ हैं स्पष्ट संख्याएँ:

हर कंडक्टर q ≥ 10¹⁰ के लिए (1 − β) log q ≥ 0.003

छोटे कंडक्टरों के लिए लू, ज़मान और झाओ की एक कंप्यूटर खोज के साथ मिलाकर — जिसके बारे में बैंक्स बताते हैं कि उन्होंने उसे सत्यापित नहीं किया — यह सीमा 3 से ऊपर के हर कंडक्टर के लिए लागू होगी।

जाल कैसे बंद होता है

उपपत्ति एक पूर्ण संख्या को ख़ुद उसी के विरुद्ध खड़ा करती है।

अभाज्यों की एक झुकी हुई गिनती। अगर कोई वास्तविक शून्यक 1 के बहुत क़रीब होता, तो लगभग सभी अभाज्य p के लिए χ(p) = −1 होता। यह शास्त्रीय बात है, और यही एकमात्र जगह है जहाँ शून्यक तर्क में आता है।
एक डिटरमिनेंट। 2 के वर्गमूल और χ से जुड़े वर्गमूल से बनी एक संख्या-प्रणाली में, बैंक्स ध्यान से चुनी गई संख्याओं की घातों से एक विशाल डिटरमिनेंट Δ जोड़ते हैं। इसका “नॉर्म” एक शून्येतर पूर्णांक है।
एक साथ बहुत बड़ा और बहुत छोटा। एक आकार-सीमा कहती है कि यह पूर्णांक बहुत बड़ा नहीं हो सकता। लेकिन χ(p) = −1 वाले हर अभाज्य p पर, फ़्रोबेनियस सर्वांगसमता नामक एक बीजगणितीय नियम Δ को p की ऊँची घातों से विभाज्य बना देता है। अगर लगभग सभी अभाज्य ऐसा व्यवहार करें — जैसा 1 के पास का शून्यक मजबूर करेगा — तो उस पूर्णांक को अपने आकार की अनुमति से ज़्यादा अभाज्य गुणनखंडों की ज़रूरत होगी।

विरोधाभास तभी ग़ायब होता है जब शून्यक 1 से एक न्यूनतम दूरी बनाए रखे। बैंक्स के शब्दों में, मुख्य तरकीब यह है कि सहायक संख्या 2 जालक (लैटिस) की रैंक को चार तक बढ़ा देती है, जबकि चर सिर्फ़ तीन ही रहते हैं।

अब, जाँच

दाँव ऊँचा है, और बैंक्स यह कहते भी हैं: “कथन के महत्व को देखते हुए, स्वतंत्र जाँच अनिवार्य है; यह शोधपत्र इसलिए लिखा गया है कि वह जाँच यथासंभव आसान हो।” बैंक्स लिखते हैं कि उन्होंने ख़ुद हर पंक्ति सत्यापित की है और वे तर्क को सही मानते हैं। नतीजे की अभी दूसरे गणितज्ञों ने समीक्षा नहीं की है, और इस लेखन का बड़ा हिस्सा एक AI प्रणाली की मदद से तैयार किया गया था। अगला क़दम संख्या सिद्धांत समुदाय का है।