OPENAI MENGATAKAN SEBUAH NOL YANG DITAKUTI TIDAK PERNAH ADA — SEORANG MATEMATIKAWAN MEMERIKSANYA

Konflik kepentingan. Makalah ini menyatakan bahwa model bahasa besar Claude, buatan Anthropic, digunakan di seluruh proses penyusunannya: model ini membuat laporan tentang naskah OpenAI dan draf bukti yang diperluas yang menjadi dasar teks, menghitung konstanta eksplisitnya, dan membantu memeriksa bukti. Artikel ini juga ditulis oleh Claude. Hasil pokoknya dikreditkan kepada OpenAI, pesaing Anthropic. Tak satu pun dari fakta ini membuat buktinya benar atau salah; itu harus dinilai oleh matematikawan independen.

Para ahli teori bilangan mempelajari bagaimana bilangan prima tersebar dengan alat yang disebut fungsi-L Dirichlet, L(s, χ), yang masing-masing terkait dengan sebuah “karakter” χ dengan “konduktor” q. Titik-titik tempat fungsi-fungsi ini bernilai nol adalah nol (zero) fungsi tersebut.

Untuk karakter real, satu kemungkinan yang merepotkan tidak pernah dapat disingkirkan: sebuah nol real tunggal β yang terletak sangat dekat dengan 1. Nol ini disebut nol Landau–Siegel. Apakah nol semacam itu ada, catat makalah ini, merupakan salah satu masalah sentral teori bilangan analitik, karena nol itu menghalangi estimasi seragam untuk bilangan prima dalam barisan aritmetika dan batas bawah efektif untuk “bilangan kelas” medan kuadratik.

Semua jawaban parsial yang diketahui menyisakan sesuatu. Siegel, pada 1935, menunjukkan bahwa nol semacam itu tidak mungkin terlalu dekat dengan 1, tetapi metodenya tidak memberi cara untuk menghitung seberapa dekat. Page menunjukkan bahwa, hingga ukuran berapa pun, paling banyak satu karakter real yang dapat memiliki nol semacam itu. Karya selanjutnya oleh Goldfeld, serta oleh Gross dan Zagier, memberikan batas efektif untuk bilangan kelas — tetapi, menurut makalah ini, jauh lebih lemah daripada yang akan diberikan jika nol-nol ini disingkirkan.

Klaim OpenAI

Sebuah naskah dari OpenAI, bertanggal 1 Oktober 2026, menyatakan bahwa nol Landau–Siegel tidak ada: ada sebuah konstanta tetap c > 0 sedemikian sehingga (1 − β) log q ≥ c untuk setiap nol real, dengan q adalah “konduktor” karakter tersebut. Menurut William Banks dari University of Missouri, buktinya cukup pendek, memakai determinan interpolasi — alat yang dikenal dari teori bilangan transendental — dan hanya memerlukan satu ketaksamaan klasik tentang fungsi-L. Tetapi bukti itu berargumen dengan kontradiksi dan tidak memberikan nilai numerik untuk konstanta apa pun.

Bukti yang ditulis lengkap

Banks tidak mengklaim orisinalitas atas gagasan-gagasannya. Tujuannya adalah membuat argumen itu dapat diakses dan mengonfirmasinya, sebagai bukti langsung yang setiap langkahnya ditulis. Yang baru adalah angka eksplisit:

(1 − β) log q ≥ 0,003 untuk setiap konduktor q ≥ 10¹⁰

Digabungkan dengan pencarian komputer oleh Lu, Zaman, dan Zhao untuk konduktor yang lebih kecil — yang menurut Banks belum ia verifikasi — batas ini akan berlaku untuk setiap konduktor mulai dari 3.

Bagaimana jebakannya menutup

Bukti ini mengadu satu bilangan bulat dengan dirinya sendiri.

Hitungan bilangan prima yang bias. Jika sebuah nol real berada sangat dekat dengan 1, maka χ(p) = −1 untuk hampir semua bilangan prima p. Ini hasil klasik, dan merupakan satu-satunya tempat nol itu masuk ke dalam argumen.
Sebuah determinan. Dalam sistem bilangan yang dibangun dari akar kuadrat 2 dan akar kuadrat yang terkait dengan χ, Banks menyusun determinan raksasa Δ dari pangkat-pangkat bilangan yang dipilih dengan cermat. “Norma”-nya adalah bilangan bulat bukan nol.
Terlalu besar sekaligus terlalu kecil. Sebuah batas ukuran menyatakan bahwa bilangan bulat ini tidak bisa terlalu besar. Tetapi pada setiap bilangan prima p dengan χ(p) = −1, sebuah aturan aljabar yang disebut kongruensi Frobenius membuat Δ habis dibagi oleh pangkat tinggi p. Jika hampir semua bilangan prima berperilaku demikian — seperti yang akan dipaksakan oleh nol yang dekat dengan 1 — bilangan bulat itu akan memerlukan lebih banyak faktor prima daripada yang diizinkan ukurannya.

Kontradiksi itu hanya hilang jika nol tersebut menjaga jarak minimum dari 1. Dalam kata-kata Banks, trik kuncinya adalah bahwa bilangan bantu 2 menaikkan rank kisi (lattice) menjadi empat sambil tetap hanya memakai tiga variabel.

Sekarang, pemeriksaan

Taruhannya tinggi, dan Banks mengatakannya: “Mengingat pentingnya pernyataan ini, pemeriksaan independen mutlak diperlukan; makalah ini ditulis untuk membuat pemeriksaan itu semudah mungkin.” Banks menulis telah memverifikasi sendiri setiap baris dan yakin argumennya kokoh. Hasil ini belum ditelaah oleh matematikawan lain, dan sebagian besar tulisan ini disiapkan dengan bantuan sistem AI. Langkah berikutnya ada di tangan komunitas teori bilangan.