OpenAI کہندی اے پئی اک ڈراؤنا صفر کدی ہوندا ای نہیں — اک ریاضی دان پرکھدا اے
مفاد دا ٹکراؤ۔ مقالہ دسدا اے پئی Anthropic دا بنایا وڈا زبانی ماڈل Claude ایہدی پوری تیاری وچ ورتیا گیا: ایہنے OpenAI دے مسودے بارے اک رپورٹ تے ثبوت دا اک ودھایا ہویا مسودہ بنایا جیہڑا لکھت دی بنیاد اے، صاف مستقل کڈھے، تے ثبوت پرکھن وچ مدد کیتی۔ ایہ لکھت وی Claude نے لکھی اے۔ بنیادی نتیجہ OpenAI دے ناں اے، جیہڑی Anthropic دی مقابلے باز اے۔ ایہناں وچوں کوئی گل ثبوت نوں ٹھیک یا غلط نہیں بناؤندی؛ ایہ فیصلہ آزاد ریاضی داناں نے کرنا اے۔
عدداں دی تھیوری والے ایہ پڑھدے نیں پئی مفرد عدد کیویں ونڈے ہوئے نیں، ڈیریکلے L-فنکشن (Dirichlet L-functions)، L(s, χ)، ناں دے اوزاراں نال، ہر اک کسے “کریکٹر” χ نال جڑیا جیہدا “کنڈکٹر” q ہوندا اے۔ جتھے ایہ فنکشن صفر بن جاندے نیں، اوہ اوہناں دے صفر (zeros) نیں۔
اصلی (real) کریکٹراں لئی، اک اوکھا امکان کدی رد نہیں ہویا: اک اکلا اصلی صفر β جیہڑا 1 دے بہت ای نیڑے ہووے۔ ایہنوں لانڈاؤ–سیگل صفر کہندے نیں۔ مقالہ دسدا اے پئی کیہ ایہو جہے صفر ہوندے نیں، ایہ تجزیاتی عدداں دی تھیوری دے مکھ مسئلیاں وچوں اک اے، کیوں جے ایہ حسابی تسلسلاں (arithmetic progressions) وچ مفرد عدداں دے اکو جہے اندازیاں (uniform estimates) تے دو درجی میداناں (quadratic fields) دے “کلاس نمبراں” دیاں کارآمد تھلیاں حداں (effective lower bounds) دا راہ روکدے نیں۔
جانے پچھانے ادھورے جواب سارے کجھ نہ کجھ چھڈ دیندے نیں۔ Siegel نے 1935 وچ وکھایا پئی ایہو جیہا صفر 1 دے بہتا نیڑے نہیں ہو سکدا، پر طریقہ ایہ کڈھن دا کوئی راہ نہیں دیندا پئی کِنا نیڑے۔ Page نے وکھایا پئی کسے وی دتے گئے سائز تیک، ودھ توں ودھ اک اصلی کریکٹر دا ایہو جیہا صفر ہو سکدا اے۔ بعد وچ Goldfeld دے، تے Gross تے Zagier دے کم نے کلاس نمبراں اُتے کارآمد حداں دتیاں — پر مقالے مطابق، ایہ اوہناں نالوں کتے کمزور سن جیہڑیاں ایہناں صفراں نوں رد کرن نال ملدیاں۔
OpenAI دا دعویٰ
OpenAI دا اک مسودہ، جیہدی تاریخ 1 اکتوبر 2026 اے، دعویٰ کردا اے پئی لانڈاؤ–سیگل صفر ہوندے ای نہیں: اک پکا مستقل c > 0 اے جیہدے نال ہر اصلی صفر لئی (1 − β) log q ≥ c، جتھے q کریکٹر دا “کنڈکٹر” اے۔ University of Missouri دے William Banks مطابق، ایہدا ثبوت کافی نکا اے، اک interpolation determinant ورتدا اے — ماورائی عدداں (transcendental numbers) دی تھیوری توں جانیا پچھانیا اوزار — تے L-فنکشناں بارے صرف اک کلاسیکی نابرابری (inequality) دی لوڑ رکھدا اے۔ پر ایہ تضاد (contradiction) راہیں دلیل دیندا اے تے کسے وی مستقل دی کوئی عددی قدر نہیں دیندا۔
پورا لکھیا ثبوت
Banks خیالاں دے نویں ہوون دا کوئی دعویٰ نہیں کردے۔ مقصد دلیل نوں سوکھا بناؤنا تے پکا کرنا اے، اک سدھے ثبوت وجوں جیہدے وچ ہر قدم لکھیا ہووے۔ نویں گل صاف عدد نیں:
ہر کنڈکٹر q ≥ 10¹⁰ لئی (1 − β) log q ≥ 0.003
نکے کنڈکٹراں لئی Lu، Zaman تے Zhao دی کمپیوٹر کھوج نال رلا کے — جیہنوں Banks دسدے نیں پئی اوہناں نے پرکھیا نہیں — ایہ حد 3 توں اُتے ہر کنڈکٹر لئی لاگو ہووے گی۔
پھندا کیویں بند ہوندا اے
ثبوت اک پورے عدد (integer) نوں اوہدے اپنے خلاف کھڈاؤندا اے۔
- اک جانبدار مفرد گنتی۔ جے کوئی اصلی صفر 1 دے بہت نیڑے ہووے، تاں تقریباً سارے مفرد عدداں p لئی χ(p) = −1۔ ایہ کلاسیکی گل اے، تے ایہی اکلی تھاں اے جتھے صفر اندر آؤندا اے۔
- اک ڈیٹرمیننٹ۔ 2 دے جذر (square root) تے χ نال جڑے جذر توں بنے اک عددی نظام وچ، Banks دھیان نال چنے عدداں دیاں طاقتاں (powers) توں اک بہت وڈا ڈیٹرمیننٹ Δ جوڑدے نیں۔ ایہدا “نارم” اک غیر صفر پورا عدد اے۔
- اکو ویلے بہت وڈا تے بہت نکا۔ اک سائز دی حد کہندی اے پئی ایہ پورا عدد بہت وڈا نہیں ہو سکدا۔ پر ہر اوس مفرد p اُتے جتھے χ(p) = −1، Frobenius congruence ناں دا اک الجبری اصول Δ نوں p دیاں اُچیاں طاقتاں نال ونڈیا جان جوگا بنا دیندا اے۔ جے تقریباً سارے مفرد عدد اینج کرن — جیویں 1 دے نیڑے والا صفر مجبور کرے گا — تاں ایس پورے عدد نوں اوہدے سائز دی اجازت نالوں ودھ مفرد جز (prime factors) چاہیدے ہوون گے۔
تضاد صرف تاں مکدا اے جے صفر 1 توں گھٹو گھٹ اک فاصلہ رکھے۔ Banks دے لفظاں وچ، مکھ چال ایہ اے پئی مددگار عدد 2 لیٹس (lattice) دا رینک چار تیک ودھا دیندا اے جدکہ متغیر صرف تن رہندے نیں۔
ہن، پرکھ دی واری
داء اُتے بہت کجھ اے، تے Banks ایہ آکھدے نیں: “بیان دی اہمیت ویکھدیاں، آزاد جانچ لازمی اے؛ ایہ مقالہ اوس جانچ نوں جِنا ہو سکے سوکھا بناؤن لئی لکھیا گیا اے۔” Banks لکھدے نیں پئی اوہناں نے آپ ہر لائن پرکھی اے تے سمجھدے نیں پئی دلیل ٹھیک اے۔ نتیجہ اجے دوجے ریاضی داناں نے نہیں پرکھیا، تے ایس لکھت دا بہتا حصہ اک اے آئی سسٹم دی مدد نال تیار ہویا۔ اگلا قدم عدداں دی تھیوری والی برادری دا اے۔