OPENAI УТВЕРЖДАЕТ, ЧТО ПУГАЮЩЕГО НУЛЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ, — МАТЕМАТИК ПРОВЕРЯЕТ

Конфликт интересов. В работе указано, что большая языковая модель Claude, созданная Anthropic, использовалась на всех этапах её подготовки: она составила отчёт о рукописи OpenAI и расширенный черновик доказательства, легший в основу текста, вычислила явные константы и помогла проверить доказательство. Эта статья тоже написана Claude. Сам результат приписывается OpenAI, конкуренту Anthropic. Ни один из этих фактов не делает доказательство верным или неверным; судить об этом должны независимые математики.

Специалисты по теории чисел изучают распределение простых чисел с помощью инструментов, называемых L-функциями Дирихле, L(s, χ), каждая из которых связана с «характером» χ с «кондуктором» q. Точки, в которых эти функции обращаются в нуль, — их нули.

Для вещественных характеров одна неудобная возможность так и не была исключена: единственный вещественный нуль β, лежащий чрезвычайно близко к 1. Его называют нулём Ландау–Зигеля. Существуют ли такие нули, отмечается в работе, — одна из центральных задач аналитической теории чисел, потому что они блокируют равномерные оценки для простых чисел в арифметических прогрессиях и эффективные нижние оценки для «чисел классов» квадратичных полей.

Все известные частичные ответы что-то упускают. Зигель в 1935 году показал, что такой нуль не может лежать слишком близко к 1, но метод не даёт способа вычислить, насколько близко. Пейдж показал, что до любого заданного размера такой нуль может быть не более чем у одного вещественного характера. Более поздние работы Голдфелда, а также Гросса и Загира дали эффективные оценки для чисел классов — но, как говорится в работе, гораздо более слабые, чем те, что дало бы исключение этих нулей.

Утверждение OpenAI

Рукопись OpenAI, датированная 1 октября 2026 года, утверждает, что нулей Ландау–Зигеля не существует: есть фиксированная константа c > 0, такая что (1 − β) log q ≥ c для любого вещественного нуля, где q — «кондуктор» характера. По словам Уильяма Бэнкса из Университета Миссури, её доказательство довольно короткое, использует интерполяционный определитель — инструмент, знакомый по теории трансцендентных чисел, — и требует лишь одного классического неравенства для L-функций. Но оно рассуждает от противного и не даёт никакого численного значения ни для одной константы.

Доказательство, расписанное полностью

Бэнкс не претендует на оригинальность идей. Цель — сделать рассуждение доступным и подтвердить его в виде прямого доказательства, в котором расписан каждый шаг. Новое — это явные числа:

(1 − β) log q ≥ 0,003 для любого кондуктора q ≥ 10¹⁰

В сочетании с компьютерным поиском Лу, Замана и Чжао для меньших кондукторов — который, по словам Бэнкса, он не проверял — оценка выполнялась бы для любого кондуктора начиная с 3.

Как захлопывается ловушка

Доказательство сталкивает одно целое число с самим собой.

• Смещённый подсчёт простых. Если бы вещественный нуль лежал очень близко к 1, то χ(p) = −1 почти для всех простых p. Это классический факт, и это единственное место, где нуль вообще появляется.
• Определитель. В числовой системе, построенной из квадратного корня из 2 и квадратного корня, связанного с χ, Бэнкс составляет огромный определитель Δ из степеней тщательно подобранных чисел. Его «норма» — ненулевое целое число.
• Одновременно слишком большое и слишком маленькое. Оценка размера говорит, что это целое число не может быть очень большим. Но для каждого простого p с χ(p) = −1 алгебраическое правило, называемое сравнением Фробениуса, делает Δ делимым на высокие степени p. Если бы почти все простые числа вели себя так — как вынудил бы нуль вблизи 1, — целому числу понадобилось бы больше простых множителей, чем позволяет его размер.

Противоречие исчезает, только если нуль сохраняет минимальное расстояние до 1. По словам Бэнкса, ключевой приём состоит в том, что вспомогательное число 2 повышает ранг решётки до четырёх, оставляя лишь три переменные.

Теперь — проверка

Ставки высоки, и Бэнкс это признаёт: «Ввиду важности утверждения независимая проверка необходима; эта статья написана для того, чтобы сделать такую проверку как можно более простой». Бэнкс пишет, что лично проверил каждую строку, и считает рассуждение верным. Результат ещё не рассмотрен другими математиками, а значительная часть этого изложения подготовлена с помощью системы ИИ. Следующий шаг — за сообществом специалистов по теории чисел.