OpenAI می‌گوید صفری هراس‌انگیز هرگز وجود ندارد — یک ریاضی‌دان بررسی می‌کند

تعارض منافع. مقاله تصریح می‌کند که مدل زبانی بزرگ Claude، ساختهٔ Anthropic، در سراسر آماده‌سازی آن به کار رفته است: گزارشی دربارهٔ دست‌نوشتهٔ OpenAI و پیش‌نویسی گسترش‌یافته از اثبات تهیه کرد که پایهٔ متن است، ثابت‌های صریح را محاسبه کرد و در بررسی اثبات کمک کرد. این مقاله را هم Claude نوشته است. نتیجهٔ اصلی به OpenAI، رقیب Anthropic، نسبت داده می‌شود. هیچ‌یک از این واقعیت‌ها اثبات را درست یا نادرست نمی‌کند؛ داوری در این باره با ریاضی‌دانان مستقل است.

نظریه‌پردازان اعداد چگونگی توزیع اعداد اول را با ابزارهایی به نام تابع‌های L دیریکله (Dirichlet L-functions)، L(s, χ)، بررسی می‌کنند که هر کدام به یک «مشخصه» (character) χ با «رسانا»ی (conductor) q وابسته است. جاهایی که این تابع‌ها صفر می‌شوند صفرهای آن‌ها هستند.

برای مشخصه‌های حقیقی، یک احتمال ناخوشایند هرگز کنار گذاشته نشده است: تنها یک صفر حقیقی β که بی‌اندازه نزدیک به 1 باشد. به آن صفر لاندائو–زیگل می‌گویند. به اشارهٔ مقاله، این‌که چنین صفرهایی وجود دارند یا نه یکی از مسائل محوری نظریهٔ تحلیلی اعداد است، زیرا راه برآوردهای یکنواخت برای اعداد اول در تصاعدهای حسابی و کران‌های پایینِ مؤثر برای «عدد رده»ی میدان‌های درجه‌دوم را می‌بندند.

پاسخ‌های نیمه‌کارهٔ شناخته‌شده همگی چیزی را جا می‌اندازند. زیگل در 1935 نشان داد که چنین صفری نمی‌تواند بیش از حد به 1 نزدیک باشد، اما روشش هیچ راهی برای محاسبهٔ میزان این نزدیکی نمی‌دهد. Page نشان داد که تا هر اندازهٔ معین، حداکثر یک مشخصهٔ حقیقی می‌تواند چنین صفری داشته باشد. کارهای بعدی Goldfeld و نیز Gross و Zagier کران‌های مؤثری برای عددهای رده به دست دادند — اما به گفتهٔ مقاله، بسیار ضعیف‌تر از آنچه کنار گذاشتن این صفرها می‌داد.

ادعای OpenAI

دست‌نوشته‌ای از OpenAI به تاریخ 1 اکتبر 2026 اعلام می‌کند که صفرهای لاندائو–زیگل وجود ندارند: ثابتی معین c > 0 هست که برای هر صفر حقیقی، (1 − β) log q ≥ c، که در آن q «رسانا»ی مشخصه است. به گفتهٔ William Banks از University of Missouri، اثبات آن نسبتاً کوتاه است، از یک دترمینان درون‌یابی (interpolation determinant) — ابزاری آشنا در نظریهٔ اعداد متعالی — استفاده می‌کند و فقط به یک نابرابری کلاسیک دربارهٔ تابع‌های L نیاز دارد. اما از راه برهان خلف پیش می‌رود و برای هیچ ثابتی مقدار عددی نمی‌دهد.

اثباتی که کامل نوشته شده

Banks هیچ ادعای نوآوری در ایده‌ها ندارد. هدف این است که استدلال در دسترس قرار گیرد و تأیید شود، به‌صورت اثباتی مستقیم که هر گامش نوشته شده باشد. آنچه تازه است اعداد صریح است:

برای هر رسانای q ≥ 10¹⁰، (1 − β) log q ≥ 0.003

اگر این با جست‌وجوی رایانه‌ای Lu، Zaman و Zhao برای رساناهای کوچک‌تر ترکیب شود — که Banks می‌گوید آن را راستی‌آزمایی نکرده — کران برای هر رسانا از 3 به بالا برقرار خواهد بود.

دام چگونه بسته می‌شود

اثبات یک عدد صحیح را در برابر خودش قرار می‌دهد.

• شمارشی سوگیرانه از اعداد اول. اگر صفری حقیقی بسیار نزدیک به 1 بود، آنگاه برای تقریباً همهٔ اعداد اول p، χ(p) = −1. این کلاسیک است و تنها جایی است که صفر وارد ماجرا می‌شود.
• یک دترمینان. در دستگاه عددی‌ای که از ریشهٔ دوم 2 و ریشهٔ دوم وابسته به χ ساخته شده، Banks دترمینان عظیمی به نام Δ را از توان‌های اعدادی که با دقت برگزیده شده‌اند می‌سازد. «نُرم» آن عدد صحیحی ناصفر است.
• هم‌زمان بیش از حد بزرگ و بیش از حد کوچک. یک کران اندازه می‌گوید این عدد صحیح نمی‌تواند خیلی بزرگ باشد. اما در هر عدد اول p با χ(p) = −1، قاعده‌ای جبری به نام هم‌نهشتی فروبنیوس Δ را بر توان‌های بالای p بخش‌پذیر می‌کند. اگر تقریباً همهٔ اعداد اول چنین رفتار کنند — همان‌طور که صفری نزدیک به 1 تحمیل می‌کند — این عدد صحیح به عامل‌های اول بیشتری از آنچه اندازه‌اش اجازه می‌دهد نیاز خواهد داشت.

تناقض فقط وقتی ناپدید می‌شود که صفر فاصلهٔ کمینه‌ای از 1 را حفظ کند. به بیان Banks، ترفند کلیدی این است که عدد کمکی 2 رتبهٔ مشبکه (lattice) را به چهار می‌رساند در حالی که فقط سه متغیر را نگه می‌دارد.

حالا، نوبت بررسی

پای مسئله‌ای مهم در میان است و Banks خود این را می‌گوید: «با توجه به اهمیت این گزاره، بررسی مستقل ضروری است؛ این مقاله نوشته شده تا آن بررسی را تا جای ممکن آسان کند.» Banks می‌نویسد که شخصاً همهٔ سطرها را راستی‌آزمایی کرده و باور دارد استدلال درست است. این نتیجه هنوز به دست ریاضی‌دانان دیگر بررسی نشده و بخش بزرگی از این نوشته با کمک یک سامانهٔ هوش مصنوعی آماده شده است. گام بعدی با جامعهٔ نظریهٔ اعداد است.