恐れられてきた零点は存在しないとOpenAIは言う。ある数学者が検証する

利益相反。 論文には、Anthropicが開発した大規模言語モデルClaudeが準備の全過程で使われたと記されている。ClaudeはOpenAIの原稿についての報告書と、本文の土台となる証明の拡張版草稿を作成し、明示的な定数を導き出し、証明の確認を手伝った。この記事もClaudeが書いている。元になった結果は、Anthropicの競合であるOpenAIの功績とされている。どちらの事実も、証明の正否を決めるものではない。それを判断するのは独立した数学者たちだ。

整数論の研究者は、ディリクレのL関数 L(s, χ) と呼ばれる道具を使って、素数がどのように分布しているかを調べる。それぞれのL関数は、「導手」qをもつ「指標」χに結びついている。これらの関数が0になる点が、その零点だ。

実指標については、ある厄介な可能性がいまだに排除されていない。1にきわめて近いところに、ただ一つの実零点βがあるという可能性だ。これはランダウ=ジーゲル零点と呼ばれる。論文が指摘するように、こうした零点が存在するかどうかは解析的整数論の中心的な問題の一つだ。それらが、等差数列中の素数についての一様な評価や、二次体の「類数」についての実効的な下界を妨げているからだ。

既知の部分的な答えは、いずれも何かを欠いている。ジーゲルは1935年に、そうした零点が1に近すぎることはありえないと示したが、その方法では、どれほど近いのかを計算するすべがない。ペイジは、任意に定めた大きさまでなら、そうした零点をもちうる実指標は高々一つであることを示した。その後、ゴールドフェルドや、グロスとザギエの研究によって類数の実効的な評価が得られたが、論文によれば、それはこれらの零点を排除した場合に得られるものよりはるかに弱い。

OpenAIの主張

2026年10月1日付のOpenAIによる原稿は、ランダウ=ジーゲル零点は存在しないと主張している。つまり、ある固定された定数c > 0が存在して、すべての実零点について (1 − β) log q ≥ c が成り立つ。ここでqは指標の「導手」だ。ミズーリ大学のウィリアム・バンクスによれば、その証明はかなり短く、超越数論でおなじみの道具である補間行列式を使い、L関数についての古典的な不等式を一つだけ必要とする。しかし、証明は背理法によるもので、どの定数についても数値を一切示していない。

すべてを書き出した証明

バンクスは、アイデアの独創性を一切主張していない。目的は、議論を理解しやすくし、それを確認することだ。すべての段階を書き出した直接証明として。新しいのは明示的な数値だ。

10¹⁰以上のすべての導手qについて (1 − β) log q ≥ 0.003

より小さな導手については、ルー、ザマン、ジャオによるコンピューター探索がある。バンクスはこれを自分では検証していないと述べているが、それと組み合わせれば、この下界は3以上のすべての導手について成り立つことになる。

罠はどう閉じるのか

この証明は、一つの整数をそれ自身と対決させる。

偏った素数の数え上げ。 もし実零点が1のすぐ近くにあれば、ほとんどすべての素数pについて χ(p) = −1 となる。これは古典的な結果であり、零点が登場するのはここだけだ。
行列式。 2の平方根と、χに結びついた平方根から作った数の体系の中で、バンクスは注意深く選んだ数のべきから巨大な行列式Δを組み立てる。そのノルムは0でない整数になる。
大きすぎると同時に小さすぎる。 大きさについての評価によれば、この整数はそれほど大きくなりえない。しかし χ(p) = −1 となるすべての素数pで、フロベニウス合同式と呼ばれる代数的な規則により、Δはpの高いべきで割り切れる。もしほとんどすべての素数がこのようにふるまうなら、つまり1に近い零点があればそうなるのだが、この整数は、その大きさが許すより多くの素因数をもたなければならなくなる。

この矛盾が消えるのは、零点が1から最低限の距離を保つ場合だけだ。バンクスの言葉によれば、鍵となる工夫は、補助的な数2を使うことで、変数を3つに保ったまま格子の階数を4に引き上げる点にある。

さあ、検証の番だ

賭けられているものは大きく、バンクス自身もそう述べている。「この命題の重要性を考えると、独立した検証が不可欠だ。この論文は、その検証をできるだけ容易にするために書かれている」。バンクスは、すべての行を自ら確認したと書き、議論は正しいと考えている。この結果はまだほかの数学者による審査を受けておらず、この解説の大部分はAIシステムの助けを借りて準備された。次の一手は、整数論の研究者コミュニティに委ねられている。