OPENAI SAGT, EINE GEFÜRCHTETE NULLSTELLE GIBT ES NICHT – EIN MATHEMATIKER PRÜFT NACH

Interessenkonflikt. Die Arbeit gibt an, dass das große Sprachmodell Claude, entwickelt von Anthropic, durchgehend bei ihrer Erstellung verwendet wurde: Es verfasste einen Bericht über das Manuskript von OpenAI und einen erweiterten Entwurf des Beweises, der die Grundlage des Textes bildet, berechnete die expliziten Konstanten und half, den Beweis zu prüfen. Auch dieser Artikel wurde von Claude geschrieben. Das zugrunde liegende Ergebnis wird OpenAI zugeschrieben, einem Konkurrenten von Anthropic. Keine dieser Tatsachen macht den Beweis richtig oder falsch; das zu beurteilen ist Sache unabhängiger Mathematiker.

Zahlentheoretiker untersuchen die Verteilung der Primzahlen mit Werkzeugen namens Dirichletsche L-Funktionen, L(s, χ), die jeweils zu einem „Charakter“ χ mit einem „Führer“ q gehören. Die Stellen, an denen diese Funktionen verschwinden, sind ihre Nullstellen.

Für reelle Charaktere wurde eine unangenehme Möglichkeit nie ausgeschlossen: eine einzelne reelle Nullstelle β, die extrem nahe bei 1 liegt. Sie heißt Landau-Siegel-Nullstelle. Ob es solche Nullstellen gibt, ist laut der Arbeit eines der zentralen Probleme der analytischen Zahlentheorie, weil sie gleichmäßige Abschätzungen für Primzahlen in arithmetischen Progressionen und effektive untere Schranken für die „Klassenzahlen“ quadratischer Zahlkörper blockieren.

Die bekannten Teilantworten lassen alle etwas offen. Siegel zeigte 1935, dass eine solche Nullstelle nicht zu nahe bei 1 liegen kann, aber die Methode bietet keine Möglichkeit zu berechnen, wie nahe. Page zeigte, dass bis zu jeder gegebenen Größe höchstens ein reeller Charakter eine solche Nullstelle haben kann. Spätere Arbeiten von Goldfeld sowie von Gross und Zagier lieferten effektive Schranken für Klassenzahlen – aber, so die Arbeit, weit schwächere als jene, die sich aus dem Ausschluss dieser Nullstellen ergäben.

Die Behauptung von OpenAI

Ein Manuskript von OpenAI, datiert auf den 1. Oktober 2026, behauptet, dass es keine Landau-Siegel-Nullstellen gibt: Es gibt eine feste Konstante c > 0, sodass (1 − β) log q ≥ c für jede reelle Nullstelle gilt, wobei q der „Führer“ des Charakters ist. Laut William Banks von der University of Missouri ist der Beweis recht kurz, verwendet eine Interpolationsdeterminante – ein aus der Theorie der transzendenten Zahlen vertrautes Werkzeug – und braucht nur eine einzige klassische Ungleichung über L-Funktionen. Doch er argumentiert per Widerspruch und gibt für keine Konstante einen Zahlenwert an.

Ein vollständig ausgeschriebener Beweis

Banks beansprucht keine Originalität für die Ideen. Ziel ist es, das Argument zugänglich zu machen und es zu bestätigen, als direkten Beweis, in dem jeder Schritt ausgeschrieben ist. Neu sind explizite Zahlen:

(1 − β) log q ≥ 0,003 für jeden Führer q ≥ 10¹⁰

Kombiniert mit einer Computersuche von Lu, Zaman und Zhao für kleinere Führer – die Banks nach eigener Angabe nicht überprüft hat – würde die Schranke für jeden Führer ab 3 gelten.

Wie die Falle zuschnappt

Der Beweis spielt eine ganze Zahl gegen sich selbst aus.

• Eine verzerrte Primzahlzählung. Läge eine reelle Nullstelle sehr nahe bei 1, dann wäre χ(p) = −1 für fast alle Primzahlen p. Das ist klassisch, und es ist die einzige Stelle, an der die Nullstelle eingeht.
• Eine Determinante. In einem Zahlsystem, das aus der Quadratwurzel aus 2 und der zu χ gehörenden Quadratwurzel aufgebaut ist, setzt Banks aus Potenzen sorgfältig gewählter Zahlen eine riesige Determinante Δ zusammen. Ihre „Norm“ ist eine von null verschiedene ganze Zahl.
• Zugleich zu groß und zu klein. Eine Größenschranke besagt, dass diese ganze Zahl nicht sehr groß sein kann. Doch bei jeder Primzahl p mit χ(p) = −1 macht eine algebraische Regel, die Frobenius-Kongruenz, Δ durch hohe Potenzen von p teilbar. Verhielten sich fast alle Primzahlen so – wie es eine Nullstelle nahe 1 erzwingen würde –, bräuchte die ganze Zahl mehr Primfaktoren, als ihre Größe zulässt.

Der Widerspruch verschwindet nur, wenn die Nullstelle einen Mindestabstand zu 1 einhält. In Banks’ Worten besteht der entscheidende Kniff darin, dass die Hilfszahl 2 den Rang des Gitters auf vier erhöht, während nur drei Variablen bleiben.

Jetzt: die Prüfung

Es steht viel auf dem Spiel, und Banks sagt das auch: „Angesichts der Bedeutung der Aussage ist eine unabhängige Prüfung unerlässlich; diese Arbeit ist geschrieben, um diese Prüfung so einfach wie möglich zu machen.“ Banks schreibt, jede Zeile persönlich überprüft zu haben, und hält das Argument für stichhaltig. Das Ergebnis wurde noch nicht von anderen Mathematikern begutachtet, und ein großer Teil dieser Ausarbeitung entstand mithilfe eines KI-Systems. Der nächste Schritt liegt bei der Gemeinschaft der Zahlentheoretiker.