载货的无人机应该飞得更快
多旋翼无人机用于拍照、巡检、测绘，而且越来越多地用于投递包裹。它们的弱点是续航：飞行时间通常在30分钟左右。因此，巡航飞行中省下的每一点能量都能延长它们的航程。
合适的衡量标准是每飞行一米的能耗。飞得太慢，旋翼就要长时间把功率花在托住无人机上；飞得太快，机身的阻力就会占据主导。两者之间存在一个能量最优速度。早先的研究注意到，无人机载重越多，这个最佳速度就越高——但没有人推导出其中的规律。
一种对称性，三条定律
加州大学戴维斯分校的Ayush Patnaik、Nicolas Michel和Xinfan Lin，与苏黎世大学的Leonard Bauersfeld和Davide Scaramuzza一起，为稳定水平飞行中的无人机建立了模型：作用在机身上的力、流经每个螺旋桨的气流、旋翼消耗的功率。随后他们只改变质量——同样的机架、同样的外形、同样的旋翼，就像加上载荷时那样——并发现了三条定律：
- 能量最优速度随质量的平方根增长；
- 无人机为以该速度飞行而向前倾斜的俯仰角不随质量变化；
- 每米最低能耗与质量成正比。
三条定律都来自同一个性质。如果质量乘以因子k，每个力都必须乘以k。而每个气动力——机身阻力、旋翼推力和扭矩——都随速度的平方增长。所以把每个速度都乘以√k就能做到，同时每个角度都保持不变。用作者的话说，更重的飞行器穿过的是一个几何相似的流场，只是更快而已。功率等于力乘以速度，于是随质量的1.5次幂增长；再除以速度，每米能耗就恰好与质量成正比地增长。
在作者的模拟中，一架8千克的无人机的最佳速度为每秒14.0米；12千克时为17.2；16千克时为19.8。把每个速度除以质量的平方根，每次得到的都是同一个数：4.95。最优倾角保持在15.4度，每米每千克的能耗保持在6.2焦耳。
野外测试
团队在戴维斯附近的一个航模场驾驶两架真实的飞行器进行了飞行：一架八旋翼无人机，质量为7、8和9千克（质量增加29%）；一架四旋翼无人机，取3.58至5.17千克之间的五种质量（增加44%）。附加的载荷安装得很紧凑，以免改变无人机的外形。每个速度都沿一条直线往返飞行，以抵消风的影响。
八旋翼测试无人机，停在地面上以及处于稳定水平飞行中。——图1a，Patnaik等（2026），arXiv:2611.04748。
一旦把速度除以质量的平方根，把功率除以质量的1.5次幂，所有质量下的测量值就都落到了共同的曲线上，误差在百分之几以内。对于八旋翼无人机，在质量变化29%的范围内，最优倾角只变化了0.84度，而最佳速度除以质量的平方根，和每米每千克的最低能耗一样，在不同质量之间的变化都小于2%。对于四旋翼无人机最重的三种载荷，最经济的速度超出了无人机能飞到的范围，因此在八种配置中，有五种确定了最优点。
从定律到送货方案
实际收益立竿见影。在某一个质量下测量或计算一次最佳速度；对于任何其他质量，只需乘以质量比的平方根。而在这个最佳速度下，一段行程的能耗等于一个常数乘以总质量再乘以距离——这就把一轮送货的规划，即谁运什么、走哪条路线，变成了一个简单的线性问题。最大航程可由电池的能量直接得出。
作者们还提出了一个警告：目前使用的几种能耗模型假设，在任何速度下每米能耗都随质量增长。事实并非如此。这种简单的正比关系只在最优速度下成立。
这些定律假定飞行是稳定的，载荷改变的是无人机的质量而不是外形或平衡，并且电机和电池的效率大致保持不变。在这些限制条件下，重的无人机不应该减速来省能，而应该保持同样的前倾，并加快速度。