لوِّن كل عدد بالأحمر أو بالأزرق: نواتج الضرب أحادية اللون قد تكاد تختفي

خذ قلمَي تلوين، أحدهما أحمر والآخر أزرق، ولوِّن كل عدد صحيح موجب بأحدهما. والآن سمِّ العدد نتاج ضرب أحادي اللون إذا أمكن كتابته حاصلَ ضرب عددين أحمرين أو عددين أزرقين — ويُسمح بالعدد نفسه مرتين، لذا فإن 4 = 2 × 2 يُحتسب دائمًا.

ثلاثة من أربعة

مثال بسيط يوضّح الفكرة. لوِّن الأعداد الفردية بالأحمر والأعداد الزوجية بالأزرق. حتى 9، نواتج الضرب أحادية اللون هي 1 و3 و5 و7 و9 (فردي في فردي)، و4 = 2 × 2 و8 = 2 × 4 (زوجي في زوجي): سبعة من تسعة. ويُستثنى العدد 2، لأن تحليله الوحيد، 1 × 2، يخلط اللونين؛ وكذلك 6 = 1 × 6 = 2 × 3. وعمومًا، عددها حتى n هو الجزء الصحيح من (3n + 1)/4، لذا تؤول الحصة إلى ثلاثة أرباع. والخاسرة هي 2 و6 و10 و14… — عدد من كل أربعة.

هل يستطيع تلوين أذكى أن يفعل أفضل بكثير؟ كان معروفًا من قبل أنه في أي تلوين ثابت، تشكّل نواتج الضرب أحادية اللون دائمًا حصة موجبة من الأعداد. أما السؤال الحقيقي، الذي طرحه إردوش وشاركوزي عام 1990 ثم عام 1993، وأُدرج في كتاب ريتشارد غاي (Richard Guy) الكلاسيكي عن المسائل غير المحلولة في نظرية الأعداد، فهو هل يوجد حدّ أدنى شامل: حصة ثابتة يجب أن يبلغها كل تلوين. وبصيغة معاكسة: لأي عدد صغير ε، هل يوجد تلوين تنخفض فيه حصة نواتج الضرب أحادية اللون إلى ما دون ε، ولو على امتداد بعض المقاطع على الأقل؟ وتنتمي المسألة إلى نظرية رامزي الضربية (multiplicative Ramsey theory)، التي تدرس الأنماط التي لا يستطيع أي تلوين تجنّبها.

لا حدّ أدنى

يُثبت بحث جون م. كامبل (John M. Campbell)، من جامعة دالهاوزي في هاليفاكس بكندا، أنه لا يوجد حدّ أدنى شامل. فلكل ε، مهما صغر، يوجد تلوين للأعداد الصحيحة بالأحمر والأزرق تكون فيه، على امتداد متتالية لا نهائية من نقاط القطع، نسبة نواتج الضرب أحادية اللون من بين الأعداد حتى تلك النقطة أقل من ε.

والفكرة المفتاحية هي المرآة. فالبناء يختار متتالية متزايدة من نقاط القطع N₁ وN₂ وN₃… ومجموعة من نقاط التبديل ينقلب عندها اللون. وتُختار بحيث يكون للعدد x ولمرآته N/x، تحت كل نقطة قطع N، لونان متعاكسان دائمًا. وحاصل الضرب a × b القريب من N يقرن عددًا صغيرًا بعدد كبير يكاد يكون مرآته، لذا يختلف لونا العاملين في جميع الحالات تقريبًا. أما الاستثناءات النادرة — الأعداد التي لها قاسم في نطاق ضيّق — فتُعدّ بأدوات من نظرية الأعداد التحليلية، منها الحقيقة المنسوبة إلى أويلر بأن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية، 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …، ينمو بلا حدّ.

تلوين لا يمكن بلوغه

التلوين موجود، لكن لن يراه أحد وهو يعمل. فنقاط القطع فيه يجب أن تُختار هائلة، والبحث يحسب مدى ضخامتها لهدف ε = 1/10. إذ يجب أن تتجاوز نقطة القطع الأولى عددًا يقع بين exp(exp(96,303.3504)) وexp(exp(96,303.3505)). ونتيجة لذلك، إذا لُوّن 1 بالأحمر، فإن أول 10^(10^41,823) عدد كلها حمراء — وهي كمية يتألّف عددها هو نفسه من أكثر من 10^41,823 رقمًا. ولا تبدأ حيلة المرآة بالتأثير إلا بعد ذلك بكثير. ولن يتحقق أي حاسوب أبدًا من تلوين كهذا بالعدّ.

جواب وُجد بمساعدة ذكاء اصطناعي

البحث صريح بشأن الطريقة التي جاء بها الجواب. ففي 18 أكتوبر 2026، عُرضت مسألة كتاب غاي على نموذج ذكاء اصطناعي، GPT-6 Astra Pro، مع طلب حلّها. وبعد 13 دقيقة و53 ثانية من «التفكير»، أجاب النموذج بأنه لا يوجد ثابت كهذا واقترح بناءً. ثم كُتب البرهان عبر تبادلات طويلة وتصحيحات وعمليات تحقّق، مع نسبة عدد من خطواته — صيغة غير احتمالية لمتباينة ماركوف، وتحليل للحالات، ومتباينة تتعلق بدالة ديغاما (digamma) — إلى أبحاث كامبل نفسها. وبحسب كامبل، روجع كل اقتراح من الذكاء الاصطناعي وتُحقّق منه على نحو مستقل، والمسؤولية الكاملة عن الرياضيات تعود إلى كامبل.

البرهان منشور أولي (preprint) يحمل توقيعًا واحدًا، ولم يراجعه رياضيون آخرون بعد. ويُختتم بأسئلة جديدة: ماذا يحدث إذا لم تُلوَّن إلا الأعداد الأولية، وأيّ التلوينات تجعل حصة نواتج الضرب أحادية اللون تستقر عند قيمة معيّنة — أو لا تستقر أبدًا؟