すべての数を赤か青に塗る：同じ色の積はほとんど消せる

赤と青のクレヨンを1本ずつ用意して、正の整数を1つ残らずどちらかの色で塗ろう。ここで、2つの赤い数の積、または2つの青い数の積として書ける数を同色積と呼ぶことにする。同じ数を2回使ってもよいので、4 = 2 × 2 はいつも同色積になる。

4つに3つ

簡単な例で仕組みを見てみよう。奇数を赤、偶数を青に塗る。9までの同色積は、1、3、5、7、9（奇数×奇数）と、4 = 2 × 2 と 8 = 2 × 4（偶数×偶数）で、9個中7個になる。2は外れる。唯一の分解である1 × 2は色が混ざるからだ。6 = 1 × 6 = 2 × 3も同じく外れる。一般に、nまでの個数は(3n + 1)/4の整数部分なので、割合は4分の3に近づく。外れるのは2、6、10、14…で、4つに1つの数である。

もっと巧妙な塗り方なら、ずっとよくできるだろうか。どんな固定された塗り方に対しても、同色積が数全体の正の割合を占めることは、すでに知られていた。本当の問いは、1990年と1993年にエルデシュとシャールケジが提起し、リチャード・ガイによる数論の未解決問題の古典的な本にも載っているもので、普遍的な下限があるかどうかだ。つまり、どの塗り方でも必ず達する、決まった割合があるのか。逆の言い方をすれば、どんなに小さな数εに対しても、少なくとも一部の範囲では同色積の割合がεを下回る塗り方があるのか。この問題は、どんな塗り方でも避けられないパターンを研究する、乗法的ラムゼー理論に属する。

下限はない

カナダ・ハリファックスのダルハウジー大学のJohn M. Campbellは、普遍的な下限は存在しないことを証明した。εがどれほど小さくても、正の整数の赤と青の塗り方で、無限に続く区切りの点の列に沿って、その点までの数のうち同色積の割合がε未満になるものが存在する。

鍵となるアイデアは鏡だ。この構成では、増加する区切りの列N₁、N₂、N₃…と、色が切り替わる一連の切り替え点を選ぶ。それらは、各区切りNより下で、数xとその鏡像N/xがいつも反対の色になるように選ばれる。Nに近い積a × bは、小さな数と、そのほぼ鏡像である大きな数を組み合わせたものなので、2つの因数の色はほとんどいつも異なる。まれな例外、つまり狭い範囲に約数をもつ数は、解析的整数論の道具で数え上げられる。その道具には、素数の逆数の和1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …が限りなく大きくなるという、オイラーによるとされる事実も含まれる。

到達できない塗り方

この塗り方は存在するが、それが働く様子を誰かが目にすることはない。区切りはとてつもなく大きく選ばなければならず、論文はε = 1/10という目標についてその大きさを計算している。最初の区切りは、exp(exp(96,303.3504))とexp(exp(96,303.3505))のあいだにある数を超えなければならない。その結果、1を赤に塗ると、最初の10^(10^41,823)個の数はすべて赤になる。その個数自体が、10^41,823桁を超える数だ。鏡のトリックが効き始めるのは、そのはるか先になってからである。このような塗り方を、数え上げて確かめられるコンピューターは決して現れない。

AIとともに見つかった答え

論文は、答えがどのように得られたかを率直に述べている。2026年10月18日、Campbellはガイの本にあるこの問題をAIモデルGPT-6 Astra Proに与え、解くよう求めた。13分53秒の「思考」のあと、モデルはそのような定数は存在しないと答え、構成を提案した。その後、長いやりとりと修正と確認を経て、Campbellが証明を書き上げた。証明のいくつかのステップ、つまり非確率的な形のマルコフの不等式、場合分け、ディガンマ関数に関する不等式は、Campbell自身の研究によるものとされている。CampbellはAIの提案をすべて修正し、独立に検証したと述べ、数学的内容について全責任を負っている。

この証明は単著のプレプリントで、まだほかの数学者による査読を受けていない。論文は新たな問いで締めくくられている。素数だけを塗った場合はどうなるのか。また、どのような塗り方なら同色積の割合が決まった値に落ち着くのか、あるいはまったく落ち着かないのか。