РАСКРАСЬТЕ КАЖДОЕ ЧИСЛО В КРАСНЫЙ ИЛИ СИНИЙ: ОДНОЦВЕТНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОГУТ ПОЧТИ ИСЧЕЗНУТЬ

Возьмите два карандаша, красный и синий, и раскрасьте каждое натуральное число одним из них. Теперь назовём число одноцветным произведением, если его можно записать как произведение двух красных чисел или двух синих — одно и то же число дважды брать разрешено, так что 4 = 2 × 2 засчитывается всегда.

Три из четырёх

Простой пример показывает, как это работает. Раскрасим нечётные числа в красный, а чётные в синий. До 9 одноцветные произведения — это 1, 3, 5, 7 и 9 (нечётное на нечётное), а также 4 = 2 × 2 и 8 = 2 × 4 (чётное на чётное): семь из девяти. Число 2 выпадает, поскольку его единственное разложение, 1 × 2, смешивает цвета; так же и 6 = 1 × 6 = 2 × 3. В общем случае количество таких чисел до n равно целой части (3n + 1)/4, так что их доля стремится к трём четвертям. Проигравшие — 2, 6, 10, 14… — одно число из четырёх.

Может ли более хитрая раскраска справиться намного лучше? Уже было известно, что для любой фиксированной раскраски одноцветные произведения всегда составляют положительную долю чисел. Настоящий вопрос, поставленный Эрдёшем и Шаркёзи в 1990 году и ещё раз в 1993 году и включённый в классическую книгу Ричарда Гая (Richard Guy) о нерешённых задачах теории чисел, состоит в том, существует ли универсальный нижний порог: фиксированная доля, которую обязана достигать любая раскраска. Если сформулировать наоборот: для любого малого числа ε существует ли раскраска, у которой доля одноцветных произведений, хотя бы на некоторых отрезках, опускается ниже ε? Задача относится к мультипликативной теории Рамсея, которая изучает закономерности, которых не может избежать ни одна раскраска.

Порога нет

Джон М. Кэмпбелл (John M. Campbell) из Университета Далхаузи в Галифаксе (Канада) доказывает, что универсального нижнего порога не существует. Для любого ε, сколь угодно малого, найдётся красно-синяя раскраска натуральных чисел, в которой вдоль бесконечной последовательности точек отсечения меньше доли ε чисел до этой точки являются одноцветными произведениями.

Ключевая идея — зеркало. Построение выбирает возрастающую последовательность точек отсечения N₁, N₂, N₃… и набор точек переключения, в которых цвет меняется. Они подобраны так, что ниже каждой точки отсечения N число x и его зеркало N/x всегда имеют противоположные цвета. Произведение a × b, близкое к N, сочетает малое число с большим, которое почти является его зеркалом, поэтому два множителя почти всегда различаются по цвету. Редкие исключения — числа с делителем в узком диапазоне — подсчитываются инструментами аналитической теории чисел, в том числе с помощью факта, приписываемого Эйлеру: сумма обратных величин простых чисел, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, растёт неограниченно.

Недостижимая раскраска

Раскраска существует, но никто никогда не увидит её в действии. Её точки отсечения должны быть выбраны огромными, и в статье вычислено, насколько огромными, для цели ε = 1/10. Первая точка отсечения должна превышать число, лежащее между exp(exp(96 303,3504)) и exp(exp(96 303,3505)). В результате, если 1 покрашена в красный, первые 10^(10^41 823) чисел все красные — количество, которое само по себе записывается более чем 10^41 823 цифрами. Лишь далеко за этой границей трюк с зеркалом начинает действовать. Ни один компьютер никогда не проверит такую раскраску подсчётом.

Ответ, найденный с помощью ИИ

Статья открыто рассказывает, как был найден ответ. 18 октября 2026 года Кэмпбелл даёт задачу из книги Гая модели ИИ, GPT-6 Astra Pro, с просьбой её решить. После 13 минут и 53 секунд «размышлений» модель отвечает, что такой константы не существует, и предлагает построение. Затем в ходе долгого обмена репликами, исправлений и проверок автор пишет доказательство, причём несколько его шагов — невероятностная форма неравенства Маркова, разбор случаев, неравенство для дигамма-функции — приписаны собственным изысканиям автора. Кэмпбелл заявляет, что каждое предложение ИИ было пересмотрено и независимо проверено, и берёт на себя полную ответственность за математическое содержание.

Доказательство — препринт одного автора, и другие математики его ещё не рецензировали. Статья заканчивается новыми вопросами: что произойдёт, если раскрашивать только простые числа, и какие раскраски заставляют долю одноцветных произведений стабилизироваться на заданном значении — или не стабилизироваться вовсе?