COLORIEZ CHAQUE NOMBRE EN ROUGE OU EN BLEU : LES PRODUITS DE MÊME COULEUR PEUVENT PRESQUE DISPARAÎTRE

Prenez deux crayons, un rouge et un bleu, et coloriez chaque nombre entier positif avec l’un des deux. Appelez maintenant produit de même couleur tout nombre qui s’écrit comme le produit de deux nombres rouges ou de deux nombres bleus — le même nombre deux fois est permis : 4 = 2 × 2 compte, quelle que soit la couleur de 2.

Trois sur quatre

Un exemple simple montre le principe. Coloriez les impairs en rouge et les pairs en bleu. Jusqu’à 9, les produits de même couleur sont 1, 3, 5, 7 et 9 (impair fois impair), et 4 = 2 × 2 et 8 = 2 × 4 (pair fois pair) : sept sur neuf. Le nombre 2 échoue, car sa seule factorisation, 1 × 2, mélange les couleurs ; de même pour 6 = 1 × 6 = 2 × 3. En général, le compte jusqu’à n vaut (3n + 1)/4 arrondi à l’entier inférieur : la part tend vers trois quarts. Les perdants sont 2, 6, 10, 14… — un nombre sur quatre.

Un coloriage plus malin peut-il faire bien mieux ? On savait déjà que pour tout coloriage fixé, les produits de même couleur forment toujours une part positive des nombres. La vraie question, posée par Erdős et Sárközy en 1990 puis en 1993, et inscrite dans le livre classique de Richard Guy sur les problèmes non résolus de théorie des nombres, est celle d’un plancher universel : une part fixe que tout coloriage devrait atteindre. Dit autrement : pour n’importe quel petit nombre ε, existe-t-il un coloriage dont la part de produits de même couleur descend, au moins par endroits, sous ε ? Le problème relève de la théorie de Ramsey multiplicative, qui étudie les motifs qu’aucun coloriage ne peut éviter.

Pas de plancher

John M. Campbell, de l’université Dalhousie à Halifax, au Canada, démontre qu’il n’existe pas de plancher universel. Pour tout ε, aussi petit soit-il, il existe un coloriage des entiers en rouge et bleu dans lequel, le long d’une suite infinie de seuils, moins d’une fraction ε des nombres jusqu’à ce seuil sont des produits de même couleur.

L’idée clé est un miroir. La construction choisit une suite croissante de seuils N₁, N₂, N₃… et un ensemble de points de bascule où la couleur change. Ils sont choisis pour que, sous chaque seuil N, un nombre x et son miroir N/x aient toujours des couleurs opposées. Un produit a × b proche de N associe un petit nombre à un grand qui est presque son miroir : les deux facteurs sont donc presque toujours de couleurs différentes. Les rares exceptions — les nombres qui ont un diviseur dans une plage étroite — sont comptées avec des outils de théorie analytique des nombres, dont le fait, attribué à Euler, que la somme des inverses des nombres premiers, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, croît sans limite.

Un coloriage hors d’atteinte

Le coloriage existe, mais personne ne le verra jamais à l’œuvre. Ses seuils doivent être choisis immenses, et l’article calcule à quel point pour une cible de ε = 1/10. Le premier seuil doit dépasser un nombre compris entre exp(exp(96 303,3504)) et exp(exp(96 303,3505)), où exp(x) désigne le nombre e ≈ 2,718 élevé à la puissance x. Conséquence : si 1 est rouge, les 10^(10^41 823) premiers nombres sont tous rouges — un compte qui a lui-même plus de 10^41 823 chiffres. Ce n’est que bien au-delà que l’astuce du miroir commence à mordre. Aucun ordinateur ne vérifiera jamais un tel coloriage en comptant.

Une réponse trouvée avec une IA

L’article dit franchement comment la réponse est venue. Le 18 octobre 2026, Campbell a soumis le problème du livre de Guy à un modèle d’IA, GPT-6 Astra Pro, en lui demandant de le résoudre. Après 13 minutes et 53 secondes de « réflexion », le modèle a répondu qu’une telle constante n’existe pas et a proposé une construction. Au fil de longs échanges, de corrections et de vérifications, l’auteur a ensuite écrit la preuve, dont plusieurs étapes techniques — une analyse de cas et deux inégalités d’analyse — sont attribuées à ses propres recherches. Campbell affirme que chaque suggestion de l’IA a été révisée et vérifiée indépendamment, et assume l’entière responsabilité du contenu mathématique.

La preuve est une prépublication d’un auteur unique, pas encore examinée par d’autres mathématiciens. Elle se termine sur de nouvelles questions : que se passe-t-il si l’on ne colorie que les nombres premiers, et quels coloriages font tendre la part de produits de même couleur vers une valeur donnée — ou ne la laissent jamais se stabiliser ?