HER SAYIYI KIRMIZIYA YA DA MAVİYE BOYAYIN: AYNI RENKLİ ÇARPIMLAR NEREDEYSE YOK OLABİLİR

Biri kırmızı, biri mavi iki boya kalemi alın ve her pozitif tam sayıyı bunlardan biriyle boyayın. Şimdi iki kırmızı sayının ya da iki mavi sayının çarpımı olarak yazılabilen bir sayıya aynı renkli çarpım deyin — aynı sayının iki kez kullanılmasına izin var, dolayısıyla 4 = 2 × 2 her zaman sayılır.

Dörtte üç

Basit bir örnek işleyişi gösteriyor. Tek sayıları kırmızıya, çift sayıları maviye boyayın. 9’a kadar aynı renkli çarpımlar 1, 3, 5, 7 ve 9 (tek çarpı tek) ile 4 = 2 × 2 ve 8 = 2 × 4’tür (çift çarpı çift): dokuzda yedi. 2 sayısı dışarıda kalır, çünkü tek çarpanlarına ayrılışı olan 1 × 2 renkleri karıştırır; 6 = 1 × 6 = 2 × 3 de öyle. Genel olarak, n’ye kadarki aynı renkli çarpımların sayısı (3n + 1)/4’ün tam kısmıdır; dolayısıyla pay dörtte üçe yaklaşır. Kaybedenler 2, 6, 10, 14… — her dört sayıdan biri.

Daha akıllıca bir boyama çok daha iyisini yapabilir mi? Herhangi bir sabit boyama için aynı renkli çarpımların her zaman sayıların pozitif bir payını oluşturduğu zaten biliniyordu. Erdős ve Sárközy’nin 1990’da ve yeniden 1993’te sorduğu ve Richard Guy’ın sayılar kuramındaki çözülmemiş problemler üzerine klasik kitabında yer alan asıl soru, evrensel bir taban olup olmadığıdır: her boyamanın ulaşmak zorunda olduğu sabit bir pay. Tersinden söylersek: herhangi bir küçük ε sayısı için, aynı renkli çarpımların payının, en azından bazı aralıklar boyunca, ε’un altına düştüğü bir boyama var mıdır? Problem, hiçbir boyamanın kaçınamayacağı örüntüleri inceleyen çarpımsal Ramsey kuramına aittir.

Taban yok

Kanada’nın Halifax kentindeki Dalhousie Üniversitesi’nden John M. Campbell, evrensel bir taban olmadığını kanıtlıyor. Ne kadar küçük olursa olsun her ε için, tam sayıların öyle bir kırmızı-mavi boyaması vardır ki, sonsuz bir kesme noktaları dizisi boyunca, o noktaya kadarki sayıların ε’dan küçük bir kesri aynı renkli çarpımdır.

Anahtar fikir bir ayna. Yapı, artan bir kesme noktaları dizisi N₁, N₂, N₃… ve rengin değiştiği bir geçiş noktaları kümesi seçer. Bunlar, her N kesme noktasının altında bir x sayısı ile onun aynası N/x her zaman zıt renklere sahip olacak biçimde seçilir. N’ye yakın bir a × b çarpımı, küçük bir sayıyı neredeyse onun aynası olan büyük bir sayıyla eşleştirir; bu yüzden iki çarpan neredeyse her zaman farklı renktedir. Nadir istisnalar — dar bir aralıkta böleni olan sayılar — analitik sayılar kuramının araçlarıyla sayılır; bu araçlar arasında, Euler’e atfedilen, asal sayıların terslerinin toplamının, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, sınırsızca büyüdüğü olgusu da vardır.

Ulaşılamaz bir boyama

Boyama var, ama kimse onu iş başında göremeyecek. Kesme noktalarının devasa seçilmesi gerekiyor ve makale, ε = 1/10 hedefi için ne kadar devasa olmaları gerektiğini hesaplıyor. İlk kesme noktası, exp(exp(96.303,3504)) ile exp(exp(96.303,3505)) arasında yer alan bir sayıyı aşmalı. Sonuç olarak, 1 kırmızıya boyanırsa, ilk 10^(10^41.823) sayının hepsi kırmızıdır — bu sayı adedinin kendisi bile 10^41.823’ten fazla basamaklıdır. Ayna hilesi ancak bunun çok ötesinde etkisini göstermeye başlar. Hiçbir bilgisayar böyle bir boyamayı sayarak denetleyemeyecek.

Bir yapay zekâyla bulunan cevap

Makale, cevabın nasıl bulunduğu konusunda açık sözlü. 18 Ekim 2026’da Campbell, Guy’ın kitabındaki problemi bir yapay zekâ modeline, GPT-6 Astra Pro’ya verdi ve onu çözmesini istedi. 13 dakika 53 saniyelik bir “düşünme”nin ardından model, böyle bir sabitin olmadığını yanıtladı ve bir yapı önerdi. Uzun yazışmalar, düzeltmeler ve denetimlerle yazar ardından kanıtı yazdı; adımlarından birkaçı — Markov eşitsizliğinin olasılıksal olmayan bir biçimi, bir durum analizi, digamma fonksiyonu üzerine bir eşitsizlik — yazarın kendi araştırmalarına atfediliyor. Campbell, her yapay zekâ önerisinin gözden geçirildiğini ve bağımsız olarak doğrulandığını belirtiyor ve matematiğin tüm sorumluluğunu üstleniyor.

Kanıt tek yazarlı bir ön baskı ve henüz başka matematikçiler tarafından incelenmedi. Yeni sorularla bitiyor: yalnızca asal sayılar boyanırsa ne olur ve hangi boyamalar aynı renkli çarpımların payının belirli bir değere oturmasını — ya da hiç oturmamasını — sağlar?