COLOREA CADA NÚMERO DE ROJO O AZUL: LOS PRODUCTOS DEL MISMO COLOR PUEDEN CASI DESAPARECER

Toma dos lápices de colores, uno rojo y otro azul, y colorea cada número entero positivo con uno de ellos. Llama ahora producto del mismo color a un número si puede escribirse como el producto de dos números rojos o de dos números azules; se permite repetir el mismo número, así que 4 = 2 × 2 siempre cuenta.

Tres de cada cuatro

Un ejemplo sencillo muestra cómo funciona. Colorea de rojo los números impares y de azul los pares. Hasta 9, los productos del mismo color son 1, 3, 5, 7 y 9 (impar por impar), y 4 = 2 × 2 y 8 = 2 × 4 (par por par): siete de nueve. El número 2 queda fuera, porque su única factorización, 1 × 2, mezcla colores; lo mismo ocurre con 6 = 1 × 6 = 2 × 3. En general, el recuento hasta n es la parte entera de (3n + 1)/4, así que la proporción tiende a tres cuartos. Los que quedan fuera son 2, 6, 10, 14…: un número de cada cuatro.

¿Puede una coloración más astuta hacerlo mucho mejor? Ya se sabía que, para cualquier coloración fija, los productos del mismo color siempre constituyen una proporción positiva de los números. La verdadera pregunta, planteada por Erdős y Sárközy en 1990 y de nuevo en 1993, y recogida en el clásico libro de Richard Guy sobre problemas sin resolver de teoría de números, es si existe un suelo universal: una proporción fija que toda coloración deba alcanzar. Dicho al revés: para cualquier número pequeño ε, ¿existe una coloración cuya proporción de productos del mismo color, al menos en algunos tramos, baje de ε? El problema pertenece a la teoría de Ramsey multiplicativa, que estudia los patrones que ninguna coloración puede evitar.

Sin suelo

John M. Campbell, de la Universidad Dalhousie en Halifax (Canadá), demuestra que no hay ningún suelo universal. Para cada ε, por pequeño que sea, existe una coloración en rojo y azul de los números enteros en la que, a lo largo de una sucesión infinita de puntos de corte, menos de una fracción ε de los números hasta ese punto son productos del mismo color.

La idea clave es un espejo. La construcción elige una sucesión creciente de puntos de corte N₁, N₂, N₃… y un conjunto de puntos de cambio donde el color se invierte. Se eligen de modo que, por debajo de cada punto de corte N, un número x y su espejo N/x tengan siempre colores opuestos. Un producto a × b cercano a N empareja un número pequeño con uno grande que es casi su espejo, así que los dos factores casi siempre son de colores distintos. Las raras excepciones —números con un divisor en un intervalo estrecho— se cuentan con herramientas de la teoría analítica de números, entre ellas el hecho, atribuido a Euler, de que la suma de los inversos de los números primos, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, crece sin límite.

Una coloración inalcanzable

La coloración existe, pero nadie la verá nunca en acción. Sus puntos de corte deben elegirse enormes, y el artículo calcula cuánto para un objetivo de ε = 1/10. El primer punto de corte debe superar un número situado entre exp(exp(96.303,3504)) y exp(exp(96.303,3505)). En consecuencia, si el 1 se colorea de rojo, los primeros 10^(10^41.823) números son todos rojos, una cantidad que tiene ella misma más de 10^41.823 cifras. Solo mucho más allá empieza a surtir efecto el truco del espejo. Ningún ordenador comprobará jamás una coloración así contando.

Una respuesta encontrada con una IA

El artículo explica abiertamente cómo se llegó a la respuesta. El 18 de octubre de 2026, Campbell planteó el problema del libro de Guy a un modelo de IA, GPT-6 Astra Pro, y le pidió que lo resolviera. Tras 13 minutos y 53 segundos de «reflexión», el modelo respondió que no existe tal constante y propuso una construcción. A través de largos intercambios, correcciones y comprobaciones, Campbell redactó después la demostración, y varios de sus pasos —una forma no probabilística de la desigualdad de Markov, un análisis por casos, una desigualdad sobre la función digamma— se atribuyen a sus propias investigaciones. Campbell afirma que cada sugerencia de la IA fue revisada y verificada de forma independiente, y asume toda la responsabilidad de las matemáticas.

La demostración es una prepublicación firmada por una sola persona y todavía no ha sido revisada por otros matemáticos. Termina con nuevas preguntas: qué ocurre si solo se colorean los números primos, y qué coloraciones hacen que la proporción de productos del mismo color se estabilice en un valor dado, o que no se estabilice nunca.