FÄRBE JEDE ZAHL ROT ODER BLAU: GLEICHFARBIGE PRODUKTE KÖNNEN FAST VERSCHWINDEN

Nimm zwei Buntstifte, einen roten und einen blauen, und färbe jede positive ganze Zahl mit einem davon. Nenne eine Zahl nun ein gleichfarbiges Produkt, wenn sie sich als Produkt zweier roter Zahlen oder zweier blauer Zahlen schreiben lässt – dieselbe Zahl zweimal ist erlaubt, also zählt 4 = 2 × 2 immer.

Drei von vier

Ein einfaches Beispiel zeigt, wie es funktioniert. Färbe die ungeraden Zahlen rot und die geraden blau. Bis 9 sind die gleichfarbigen Produkte 1, 3, 5, 7 und 9 (ungerade mal ungerade) sowie 4 = 2 × 2 und 8 = 2 × 4 (gerade mal gerade): sieben von neun. Die Zahl 2 fällt heraus, da ihre einzige Zerlegung, 1 × 2, die Farben mischt; ebenso 6 = 1 × 6 = 2 × 3. Allgemein ist die Anzahl bis n der ganzzahlige Teil von (3n + 1)/4, sodass der Anteil gegen drei Viertel strebt. Die Verlierer sind 2, 6, 10, 14 … – eine von vier Zahlen.

Kann eine geschicktere Färbung viel besser abschneiden? Bekannt war bereits, dass bei jeder festen Färbung die gleichfarbigen Produkte stets einen positiven Anteil der Zahlen ausmachen. Die eigentliche Frage, 1990 und erneut 1993 von Erdős und Sárközy gestellt und in Richard Guys klassischem Buch über ungelöste Probleme der Zahlentheorie aufgeführt, lautet, ob es eine universelle Untergrenze gibt: einen festen Anteil, den jede Färbung erreichen muss. Andersherum gefragt: Gibt es für jede kleine Zahl ε eine Färbung, deren Anteil gleichfarbiger Produkte zumindest auf manchen Abschnitten unter ε fällt? Das Problem gehört zur multiplikativen Ramsey-Theorie, die Muster untersucht, die keine Färbung vermeiden kann.

Keine Untergrenze

John M. Campbell von der Dalhousie University in Halifax, Kanada, beweist, dass es keine universelle Untergrenze gibt. Für jedes noch so kleine ε gibt es eine Rot-Blau-Färbung der natürlichen Zahlen, bei der entlang einer unendlichen Folge von Schwellen weniger als ein Anteil ε der Zahlen bis zu dieser Schwelle gleichfarbige Produkte sind.

Die Schlüsselidee ist ein Spiegel. Die Konstruktion wählt eine wachsende Folge von Schwellen N₁, N₂, N₃… und eine Menge von Umschaltpunkten, an denen die Farbe wechselt. Sie werden so gewählt, dass unterhalb jeder Schwelle N eine Zahl x und ihr Spiegelbild N/x stets entgegengesetzte Farben haben. Ein Produkt a × b nahe N paart eine kleine Zahl mit einer großen, die fast ihr Spiegelbild ist, sodass die beiden Faktoren fast immer verschiedene Farben haben. Die seltenen Ausnahmen – Zahlen mit einem Teiler in einem schmalen Bereich – werden mit Werkzeugen der analytischen Zahlentheorie gezählt, darunter die Euler zugeschriebene Tatsache, dass die Summe der Kehrwerte der Primzahlen, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, unbegrenzt wächst.

Eine unerreichbare Färbung

Die Färbung existiert, aber niemand wird sie je am Werk sehen. Ihre Schwellen müssen riesig gewählt werden, und die Arbeit berechnet, wie riesig, für ein Ziel von ε = 1/10. Die erste Schwelle muss eine Zahl übersteigen, die zwischen exp(exp(96.303,3504)) und exp(exp(96.303,3505)) liegt. Folglich gilt: Ist die 1 rot gefärbt, sind die ersten 10^(10^41.823) Zahlen alle rot – eine Anzahl, die selbst mehr als 10^41.823 Ziffern hat. Erst weit jenseits davon beginnt der Spiegeltrick zu greifen. Kein Computer wird eine solche Färbung je durch Abzählen prüfen.

Eine mit einer KI gefundene Antwort

Die Arbeit legt offen, wie die Antwort zustande kam. Am 18. Oktober 2026 gab Campbell das Problem aus Guys Buch einem KI-Modell, GPT-6 Astra Pro, mit der Bitte, es zu lösen. Nach 13 Minuten und 53 Sekunden „Nachdenken“ antwortete das Modell, dass keine solche Konstante existiert, und schlug eine Konstruktion vor. In langen Dialogen, mit Korrekturen und Überprüfungen, schrieb Campbell dann den Beweis, wobei mehrere seiner Schritte – eine nicht-probabilistische Form der Markov-Ungleichung, eine Fallunterscheidung, eine Ungleichung für die Digamma-Funktion – Campbells eigenen Untersuchungen zugeschrieben werden. Campbell erklärt, dass jeder KI-Vorschlag überarbeitet und unabhängig überprüft wurde, und übernimmt die volle Verantwortung für die Mathematik.

Der Beweis ist ein Preprint in Alleinautorschaft und wurde noch nicht von anderen Fachleuten begutachtet. Er endet mit neuen Fragen: Was geschieht, wenn nur die Primzahlen gefärbt werden, und bei welchen Färbungen pendelt sich der Anteil gleichfarbiger Produkte auf einen vorgegebenen Wert ein – oder nie?