هر عدد را قرمز یا آبی کنید: حاصل‌ضرب‌های هم‌رنگ می‌توانند تقریباً ناپدید شوند

دو مداد شمعی بردارید، یکی قرمز و یکی آبی، و هر عدد صحیح مثبت را با یکی از آن‌ها رنگ کنید. حال عددی را حاصل‌ضرب هم‌رنگ بنامید اگر بتوان آن را به‌صورت حاصل‌ضرب دو عدد قرمز یا دو عدد آبی نوشت — یک عدد دو بار هم مجاز است، پس 4 = 2 × 2 همیشه به حساب می‌آید.

سه از چهار

مثالی ساده نشان می‌دهد که این کار چگونه است. عددهای فرد را قرمز و عددهای زوج را آبی کنید. تا 9، حاصل‌ضرب‌های هم‌رنگ عبارت‌اند از 1، 3، 5، 7 و 9 (فرد ضرب در فرد)، و 4 = 2 × 2 و 8 = 2 × 4 (زوج ضرب در زوج): هفت از نه. عدد 2 جا می‌ماند، زیرا تنها تجزیه‌اش، 1 × 2، رنگ‌ها را درهم می‌آمیزد؛ 6 = 1 × 6 = 2 × 3 نیز همین‌طور. به‌طور کلی، شمار آن‌ها تا n برابر جزء صحیح (3n + 1)/4 است، پس سهمشان به سه‌چهارم میل می‌کند. بازندگان 2، 6، 10، 14… هستند — یک عدد از هر چهار عدد.

آیا رنگ‌آمیزی زیرکانه‌تری می‌تواند خیلی بهتر عمل کند؟ از پیش معلوم بود که برای هر رنگ‌آمیزی ثابت، حاصل‌ضرب‌های هم‌رنگ همیشه سهمی مثبت از عددها را تشکیل می‌دهند. پرسش واقعی، که اردیش و شارکوزی (Erdős and Sárközy) در سال 1990 و دوباره در 1993 مطرح کردند و در کتاب کلاسیک ریچارد گای (Richard Guy) دربارهٔ مسائل حل‌نشدهٔ نظریهٔ اعداد فهرست شده است، این است که آیا یک کف همگانی وجود دارد: سهمی ثابت که هر رنگ‌آمیزی ناگزیر به آن برسد. به بیان دیگر: برای هر عدد کوچک ε، آیا رنگ‌آمیزی‌ای هست که سهم حاصل‌ضرب‌های هم‌رنگ در آن، دست‌کم در برخی بازه‌ها، به زیر ε برسد؟ این مسئله به نظریهٔ رمزی ضربی (multiplicative Ramsey theory) تعلق دارد، که الگوهایی را بررسی می‌کند که هیچ رنگ‌آمیزی‌ای نمی‌تواند از آن‌ها بگریزد.

کفی در کار نیست

جان ام. کمبل (John M. Campbell)، در دانشگاه دالهوزی (Dalhousie University) در هالیفاکس کانادا، ثابت می‌کند که هیچ کف همگانی‌ای وجود ندارد. برای هر ε، هرچقدر هم کوچک، رنگ‌آمیزی‌ای قرمز و آبی از اعداد صحیح وجود دارد که در آن، در امتداد دنباله‌ای بی‌پایان از نقطه‌های برش، کمتر از کسری برابر ε از عددهای تا آن نقطه حاصل‌ضرب هم‌رنگ‌اند.

ایدهٔ کلیدی یک آینه است. این ساخت دنباله‌ای صعودی از نقطه‌های برش N₁، N₂، N₃… و مجموعه‌ای از نقطه‌های تعویض را، که در آن‌ها رنگ عوض می‌شود، برمی‌گزیند. این‌ها چنان انتخاب می‌شوند که زیر هر نقطهٔ برش N، یک عدد x و آینه‌اش N/x همیشه رنگ‌های مخالف داشته باشند. حاصل‌ضربی مانند a × b که نزدیک به N باشد، عددی کوچک را با عددی بزرگ جفت می‌کند که تقریباً آینهٔ آن است، پس دو عامل تقریباً همیشه رنگ‌های متفاوت دارند. استثناهای نادر — عددهایی که مقسوم‌علیهی در بازه‌ای باریک دارند — با ابزارهای نظریهٔ تحلیلی اعداد شمرده می‌شوند، از جمله این واقعیت، که به اویلر نسبت داده می‌شود، که مجموع وارون‌های عددهای اول، 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …، بی‌کران رشد می‌کند.

رنگ‌آمیزی‌ای دست‌نیافتنی

این رنگ‌آمیزی وجود دارد، اما هیچ‌کس هرگز آن را در عمل نخواهد دید. نقطه‌های برش آن باید بسیار بزرگ انتخاب شوند، و مقاله محاسبه می‌کند که برای هدف ε = 1/10 چقدر بزرگ. نخستین نقطهٔ برش باید از عددی بزرگ‌تر باشد که میان exp(exp(96,303.3504)) و exp(exp(96,303.3505)) قرار دارد. در نتیجه، اگر 1 قرمز رنگ شود، نخستین 10^(10^41,823) عدد همگی قرمزند — شماری که خودش بیش از 10^41,823 رقم دارد. تنها بسیار فراتر از آن است که ترفند آینه اثرش را نشان می‌دهد. هیچ رایانه‌ای هرگز چنین رنگ‌آمیزی‌ای را با شمردن وارسی نخواهد کرد.

پاسخی که با هوش مصنوعی یافته شد

مقاله دربارهٔ چگونگی رسیدن به پاسخ صریح است. در 18 اکتبر 2026، کمبل مسئلهٔ کتاب گای را به یک مدل هوش مصنوعی، GPT-6 Astra Pro، داد و از آن خواست حلش کند. پس از 13 دقیقه و 53 ثانیه «فکرکردن»، مدل پاسخ داد که چنین ثابتی وجود ندارد و ساختی پیشنهاد کرد. سپس نویسنده، از راه گفت‌وگوهای طولانی، اصلاح‌ها و وارسی‌ها، اثبات را نوشت، و چندین گام آن — شکلی غیراحتمالاتی از نابرابری مارکوف، یک تحلیل حالت‌به‌حالت، نابرابری‌ای دربارهٔ تابع دیگاما — به کاوش‌های خود نویسنده نسبت داده شده است. کمبل اعلام می‌کند که هر پیشنهاد هوش مصنوعی بازبینی و به‌طور مستقل وارسی شده است، و مسئولیت کامل ریاضیات آن را بر عهده می‌گیرد.

این اثبات پیش‌چاپی از یک نویسندهٔ تنهاست و هنوز به دست ریاضی‌دانان دیگر داوری نشده است. با پرسش‌هایی تازه پایان می‌یابد: اگر تنها عددهای اول رنگ شوند چه رخ می‌دهد، و کدام رنگ‌آمیزی‌ها سهم حاصل‌ضرب‌های هم‌رنگ را روی مقداری معین تثبیت می‌کنند — یا هرگز تثبیتش نمی‌کنند؟