ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும் சிவப்பு அல்லது நீலம் தீட்டுங்கள்: ஒரே வண்ணப் பெருக்கற்பலன்கள் ஏறக்குறைய மறைந்துவிடலாம்

ஒரு சிவப்பு, ஒரு நீலம் என இரண்டு வண்ணப் பென்சில்களை எடுத்து, ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணுக்கும் அவற்றில் ஒன்றால் வண்ணம் தீட்டுங்கள். இப்போது, இரண்டு சிவப்பு எண்களின் அல்லது இரண்டு நீல எண்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுதக்கூடிய ஓர் எண்ணை ஒரே வண்ணப் பெருக்கற்பலன் (same-colour product) என்று அழையுங்கள் — அதே எண்ணை இருமுறை எடுக்கலாம்; எனவே 4 = 2 × 2 எப்போதும் கணக்கில் வரும்.

நான்கில் மூன்று

ஓர் எளிய எடுத்துக்காட்டு இது எப்படிச் செயல்படுகிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. ஒற்றை எண்களுக்குச் சிவப்பும் இரட்டை எண்களுக்கு நீலமும் தீட்டுங்கள். 9 வரை, ஒரே வண்ணப் பெருக்கற்பலன்கள் 1, 3, 5, 7, 9 (ஒற்றை பெருக்கல் ஒற்றை), மேலும் 4 = 2 × 2, 8 = 2 × 4 (இரட்டை பெருக்கல் இரட்டை): ஒன்பதில் ஏழு. 2 என்ற எண் விடுபடுகிறது, ஏனெனில் அதன் ஒரே காரணிப்படுத்தலான 1 × 2 வண்ணங்களைக் கலக்கிறது; 6 = 1 × 6 = 2 × 3-உம் அப்படியே. பொதுவாக, n வரையிலான எண்ணிக்கை (3n + 1)/4-இன் முழு எண் பகுதி; எனவே பங்கு நான்கில் மூன்று பங்கை நோக்கிச் செல்கிறது. தோற்பவை 2, 6, 10, 14… — நான்கில் ஓர் எண்.

ஒரு புத்திசாலித்தனமான வண்ணமிடல் இதை விட மிகச் சிறப்பாகச் செய்ய முடியுமா? எந்தவொரு நிலையான (fixed) வண்ணமிடலுக்கும், ஒரே வண்ணப் பெருக்கற்பலன்கள் எப்போதும் எண்களில் ஒரு நேர்மப் பங்கை உருவாக்குகின்றன என்பது ஏற்கனவே அறியப்பட்டிருந்தது. 1990-இலும் மீண்டும் 1993-இலும் Erdős, Sárközy ஆகியோர் எழுப்பிய, எண்கோட்பாட்டின் தீர்க்கப்படாத சிக்கல்கள் பற்றிய Richard Guy-இன் புகழ்பெற்ற நூலில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள உண்மையான கேள்வி, ஒரு பொதுவான அடித்தளம் (universal floor) உள்ளதா என்பதே: ஒவ்வொரு வண்ணமிடலும் எட்டியே தீர வேண்டிய ஒரு நிலையான பங்கு. மறுபுறமாகச் சொன்னால்: எந்தவொரு சிறிய எண் ε-க்கும், ஒரே வண்ணப் பெருக்கற்பலன்களின் பங்கு, குறைந்தபட்சம் சில பகுதிகளிலாவது, ε-க்குக் கீழே இறங்கும் ஒரு வண்ணமிடல் உள்ளதா? இந்தச் சிக்கல், எந்த வண்ணமிடலாலும் தவிர்க்க முடியாத அமைப்புகளை ஆராயும் பெருக்கல்சார் Ramsey கோட்பாட்டைச் (multiplicative Ramsey theory) சேர்ந்தது.

அடித்தளம் இல்லை

கனடாவின் Halifax-இல் உள்ள Dalhousie University-ஐச் சேர்ந்த John M. Campbell, பொதுவான அடித்தளம் எதுவும் இல்லை என்று நிரூபிக்கிறார். எவ்வளவு சிறியதாக இருந்தாலும், ஒவ்வொரு ε-க்கும், முழு எண்களுக்கு ஒரு சிவப்பு-நீல வண்ணமிடல் உள்ளது; அதில், வெட்டுப்புள்ளிகளின் (cut-off points) ஒரு முடிவிலாத் தொடர் நெடுகிலும், அந்தப் புள்ளி வரையிலான எண்களில் ε என்ற பின்னத்தை விடக் குறைவானவையே ஒரே வண்ணப் பெருக்கற்பலன்கள்.

முக்கியக் கருத்து ஓர் ஆடி (mirror). கட்டமைப்பு, N₁, N₂, N₃… என்ற வெட்டுப்புள்ளிகளின் ஏறுமுகத் தொடர் ஒன்றையும், வண்ணம் மாறும் மாற்றுப்புள்ளிகளின் ஒரு கணத்தையும் தேர்ந்தெடுக்கிறது. ஒவ்வொரு வெட்டுப்புள்ளி N-க்கும் கீழே, ஓர் எண் x-உம் அதன் ஆடிப் பிம்பம் N/x-உம் எப்போதும் எதிரெதிர் வண்ணங்களைக் கொண்டிருக்குமாறு அவை தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. N-க்கு அருகிலுள்ள ஒரு பெருக்கற்பலன் a × b, ஒரு சிறிய எண்ணை, ஏறக்குறைய அதன் ஆடிப் பிம்பமாக இருக்கும் ஒரு பெரிய எண்ணுடன் இணைக்கிறது; எனவே இரண்டு காரணிகளும் ஏறக்குறைய எப்போதும் வெவ்வேறு வண்ணங்களில் இருக்கும். அரிதான விதிவிலக்குகள் — ஒரு குறுகிய வரம்புக்குள் வகுத்தி கொண்ட எண்கள் — பகுமுறை எண்கோட்பாட்டின் (analytic number theory) கருவிகளைக் கொண்டு எண்ணப்படுகின்றன; அவற்றுள், Euler-க்கு உரியதாகக் கூறப்படும் ஓர் உண்மையும் அடங்கும்: பகா எண்களின் தலைகீழிகளின் கூட்டுத்தொகை, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, எல்லையின்றி வளர்கிறது.

எட்ட முடியாத ஒரு வண்ணமிடல்

அந்த வண்ணமிடல் உள்ளது, ஆனால் அது செயல்படுவதை யாரும் ஒருபோதும் பார்க்கப்போவதில்லை. அதன் வெட்டுப்புள்ளிகள் மிகப் பெரியவையாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும்; ε = 1/10 என்ற இலக்குக்கு அவை எவ்வளவு பெரியவை என்பதை ஆய்வுக்கட்டுரை கணக்கிடுகிறது. முதல் வெட்டுப்புள்ளி, exp(exp(96,303.3504))-க்கும் exp(exp(96,303.3505))-க்கும் இடையில் அமையும் ஓர் எண்ணை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக, 1-க்குச் சிவப்பு தீட்டப்பட்டால், முதல் 10^(10^41,823) எண்கள் அனைத்தும் சிவப்பு — இந்த எண்ணிக்கைக்கே 10^41,823-க்கும் மேற்பட்ட இலக்கங்கள் உள்ளன. அதற்கு மிக அப்பால் மட்டுமே ஆடி உத்தி பலன் தரத் தொடங்குகிறது. எந்தக் கணினியும் அத்தகைய வண்ணமிடலை எண்ணிச் சரிபார்க்கப்போவதில்லை.

ஒரு AI-யுடன் கண்டறியப்பட்ட விடை

விடை எப்படி வந்தது என்பது பற்றி ஆய்வுக்கட்டுரை வெளிப்படையாக உள்ளது. 2026 அக்டோபர் 18 அன்று, Campbell, Guy-இன் நூலிலிருந்த அந்தச் சிக்கலை GPT-6 Astra Pro என்ற AI மாதிரியிடம் கொடுத்து, அதைத் தீர்க்கச் சொன்னார். 13 நிமிடங்கள் 53 வினாடிகள் “சிந்தித்த” பிறகு, அத்தகைய மாறிலி எதுவும் இல்லை என்று அந்த மாதிரி பதிலளித்து, ஒரு கட்டமைப்பை முன்மொழிந்தது. நீண்ட உரையாடல்கள், திருத்தங்கள், சரிபார்ப்புகள் வழியாக, ஆசிரியர் பின்னர் நிரூபணத்தை எழுதினார்; அதன் பல படிகள் — Markov சமனிலியின் நிகழ்தகவு சாராத ஒரு வடிவம், ஒரு நிலைவாரிப் பகுப்பாய்வு, டைகாமா சார்பு (digamma function) மீதான ஒரு சமனிலி — ஆசிரியரின் சொந்த ஆய்வுகளுக்கு உரியவை எனக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு AI பரிந்துரையும் திருத்தப்பட்டுத் தனியாகச் சரிபார்க்கப்பட்டது என்று Campbell கூறுகிறார்; கணிதத்துக்கான முழுப் பொறுப்பையும் அவரே ஏற்கிறார்.

இந்த நிரூபணம் ஒற்றை ஆசிரியரின் முன்பதிப்பு (preprint); இது இன்னும் பிற கணிதவியலாளர்களால் மதிப்பாய்வு செய்யப்படவில்லை. இது புதிய கேள்விகளுடன் முடிவடைகிறது: பகா எண்களுக்கு மட்டும் வண்ணம் தீட்டினால் என்ன நடக்கும், எந்த வண்ணமிடல்கள் ஒரே வண்ணப் பெருக்கற்பலன்களின் பங்கை ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பில் நிலைபெறச் செய்கின்றன — அல்லது ஒருபோதும் நிலைபெறவே விடுவதில்லை?