हर संख्या को लाल या नीला रंगिए: समान-रंग गुणनफल लगभग ग़ायब हो सकते हैं

दो क्रेयॉन लीजिए, एक लाल और एक नीला, और हर धनात्मक पूर्ण संख्या को उनमें से किसी एक से रंगिए। अब किसी संख्या को समान-रंग गुणनफल कहिए अगर उसे दो लाल संख्याओं या दो नीली संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सके — एक ही संख्या को दो बार लेने की छूट है, इसलिए 4 = 2 × 2 हमेशा गिना जाता है।

चार में तीन

एक सरल उदाहरण दिखाता है कि यह कैसे काम करता है। विषम संख्याओं को लाल और सम संख्याओं को नीला रंगिए। 9 तक, समान-रंग गुणनफल हैं 1, 3, 5, 7 और 9 (विषम गुणा विषम), और 4 = 2 × 2 तथा 8 = 2 × 4 (सम गुणा सम): नौ में से सात। संख्या 2 छूट जाती है, क्योंकि उसका एकमात्र गुणनखंडन, 1 × 2, दोनों रंगों को मिलाता है; 6 = 1 × 6 = 2 × 3 भी छूट जाती है। सामान्य रूप से, n तक की गिनती (3n + 1)/4 का पूर्णांक भाग होती है, इसलिए यह हिस्सा तीन-चौथाई की ओर बढ़ता है। छूटने वाली संख्याएँ हैं 2, 6, 10, 14… — हर चार में एक।

क्या कोई ज़्यादा चतुर रंग-योजना इससे बहुत बेहतर कर सकती है? यह पहले से ज्ञात था कि किसी भी निश्चित रंग-योजना के लिए, समान-रंग गुणनफल हमेशा संख्याओं का एक धनात्मक हिस्सा बनाते हैं। असली सवाल, जो एर्दोश (Erdős) और शार्कोज़ी (Sárközy) ने 1990 में और फिर 1993 में पूछा, और जो संख्या सिद्धांत की अनसुलझी समस्याओं पर रिचर्ड गाय (Richard Guy) की क्लासिक पुस्तक में दर्ज है, यह है कि क्या कोई सार्वभौमिक न्यूनतम सीमा (universal floor) है: एक निश्चित हिस्सा जिस तक हर रंग-योजना को पहुँचना ही पड़े। उलटे ढंग से कहें तो: किसी भी छोटी संख्या ε के लिए, क्या कोई ऐसी रंग-योजना है जिसमें समान-रंग गुणनफलों का हिस्सा, कम से कम कुछ अंतरालों पर, ε से नीचे गिर जाए? यह समस्या गुणनात्मक रैमसे सिद्धांत (multiplicative Ramsey theory) से संबंधित है, जो उन पैटर्नों का अध्ययन करता है जिनसे कोई भी रंग-योजना बच नहीं सकती।

कोई न्यूनतम सीमा नहीं

कनाडा के हैलिफ़ैक्स स्थित डलहौज़ी यूनिवर्सिटी (Dalhousie University) में कार्यरत जॉन एम. कैंपबेल (John M. Campbell) ने सिद्ध किया है कि कोई सार्वभौमिक न्यूनतम सीमा नहीं है। हर ε के लिए, चाहे वह कितना भी छोटा हो, पूर्ण संख्याओं की एक लाल-नीली रंग-योजना होती है जिसमें, सीमा-बिंदुओं (cut-off points) के एक अनंत अनुक्रम पर, उस बिंदु तक की संख्याओं में से ε से कम अंश ही समान-रंग गुणनफल होते हैं।

मुख्य विचार एक दर्पण है। रचना सीमा-बिंदुओं N₁, N₂, N₃… का एक बढ़ता अनुक्रम और ऐसे स्विच-बिंदुओं का एक समुच्चय चुनती है जहाँ रंग पलट जाता है। इन्हें इस तरह चुना जाता है कि हर सीमा-बिंदु N से नीचे, कोई संख्या x और उसका दर्पण N/x हमेशा उलटे रंगों के हों। N के क़रीब का कोई गुणनफल a × b एक छोटी संख्या को एक ऐसी बड़ी संख्या से जोड़ता है जो लगभग उसका दर्पण है, इसलिए दोनों गुणनखंड लगभग हमेशा अलग रंग के होते हैं। दुर्लभ अपवाद — ऐसी संख्याएँ जिनका कोई भाजक एक संकरी सीमा में हो — विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत (analytic number theory) के औज़ारों से गिने जाते हैं, जिनमें यह तथ्य भी शामिल है, जिसका श्रेय ऑयलर (Euler) को दिया जाता है, कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है।

एक अप्राप्य रंग-योजना

रंग-योजना मौजूद है, लेकिन कोई इसे कभी काम करते हुए नहीं देखेगा। इसके सीमा-बिंदु विशाल चुनने पड़ते हैं, और शोधपत्र ε = 1/10 के लक्ष्य के लिए हिसाब लगाता है कि कितने विशाल। पहला सीमा-बिंदु एक ऐसी संख्या से बड़ा होना चाहिए जो exp(exp(96,303.3504)) और exp(exp(96,303.3505)) के बीच स्थित है। नतीजतन, अगर 1 को लाल रंगा गया हो, तो पहली 10^(10^41,823) संख्याएँ सब लाल होती हैं — एक ऐसी गिनती जिसमें ख़ुद 10^41,823 से अधिक अंक हैं। उससे बहुत आगे जाकर ही दर्पण वाली तरकीब असर दिखाने लगती है। कोई भी कंप्यूटर गिनकर कभी ऐसी रंग-योजना की जाँच नहीं कर पाएगा।

AI के साथ मिला एक उत्तर

शोधपत्र इस बारे में खुलकर बताता है कि उत्तर कैसे मिला। 18 अक्टूबर 2026 को, कैंपबेल ने गाय की पुस्तक से यह समस्या एक AI मॉडल, GPT-6 Astra Pro, को दी और उसे हल करने को कहा। 13 मिनट और 53 सेकंड की “सोच” के बाद, मॉडल ने उत्तर दिया कि ऐसा कोई स्थिरांक मौजूद नहीं है और एक रचना प्रस्तावित की। लंबी बातचीत, सुधारों और जाँचों के ज़रिए, फिर लेखक ने प्रमाण लिखा, जिसके कई क़दमों — मार्कोव असमिका (Markov’s inequality) का एक अप्रायिकतात्मक (non-probabilistic) रूप, एक मामलेवार विश्लेषण (case analysis), डाइगामा फ़ंक्शन (digamma function) पर एक असमिका — का श्रेय लेखक की अपनी जाँच-पड़ताल को दिया गया है। कैंपबेल के अनुसार, AI के हर सुझाव को संशोधित किया गया और स्वतंत्र रूप से सत्यापित किया गया, और गणित की पूरी ज़िम्मेदारी कैंपबेल की है।

यह प्रमाण एक एकल-लेखक प्रीप्रिंट है और अभी दूसरे गणितज्ञों ने इसकी समीक्षा नहीं की है। यह नए सवालों के साथ ख़त्म होता है: अगर केवल अभाज्य संख्याओं को रंगा जाए तो क्या होता है, और कौन-सी रंग-योजनाएँ समान-रंग गुणनफलों के हिस्से को किसी दिए गए मान पर टिका देती हैं — या कभी टिकने ही नहीं देतीं?