TÔ MỖI SỐ MÀU ĐỎ HOẶC XANH: CÁC TÍCH CÙNG MÀU CÓ THỂ GẦN NHƯ BIẾN MẤT

Hãy lấy hai cây bút sáp, một đỏ và một xanh, rồi tô mỗi số nguyên dương bằng một trong hai màu đó. Giờ hãy gọi một số là tích cùng màu nếu nó có thể viết thành tích của hai số đỏ hoặc của hai số xanh — được phép dùng cùng một số hai lần, nên 4 = 2 × 2 luôn được tính.

Ba trên bốn

Một ví dụ đơn giản cho thấy cách nó hoạt động. Tô các số lẻ màu đỏ và các số chẵn màu xanh. Tính đến 9, các tích cùng màu là 1, 3, 5, 7 và 9 (lẻ nhân lẻ), cùng 4 = 2 × 2 và 8 = 2 × 4 (chẵn nhân chẵn): bảy trên chín. Số 2 bị loại, vì cách phân tích duy nhất của nó, 1 × 2, trộn lẫn hai màu; 6 = 1 × 6 = 2 × 3 cũng vậy. Nói chung, số lượng tính đến n là phần nguyên của (3n + 1)/4, nên tỷ lệ tiến tới ba phần tư. Những số bị loại là 2, 6, 10, 14… — cứ bốn số có một số.

Liệu một cách tô khéo léo hơn có thể làm tốt hơn nhiều không? Người ta đã biết rằng với mọi cách tô cố định, các tích cùng màu luôn chiếm một tỷ lệ dương trong các số. Câu hỏi thực sự, do Erdős và Sárközy đặt ra năm 1990 và một lần nữa năm 1993, và được liệt kê trong cuốn sách kinh điển của Richard Guy về các bài toán chưa giải được trong lý thuyết số, là liệu có tồn tại một mức sàn phổ quát hay không: một tỷ lệ cố định mà mọi cách tô đều phải đạt tới. Nói theo chiều ngược lại: với mọi số nhỏ ε, liệu có cách tô nào mà tỷ lệ tích cùng màu, ít nhất là trên một số đoạn, giảm xuống dưới ε? Bài toán thuộc về lý thuyết Ramsey nhân tính, lĩnh vực nghiên cứu những cấu trúc mà không cách tô nào tránh được.

Không có mức sàn

John M. Campbell, tại Đại học Dalhousie ở Halifax, Canada, chứng minh rằng không tồn tại mức sàn phổ quát. Với mọi ε, dù nhỏ đến đâu, đều có một cách tô đỏ-xanh các số nguyên dương sao cho, dọc theo một dãy vô hạn các điểm mốc, ít hơn một phần ε các số tính đến điểm mốc đó là tích cùng màu.

Ý tưởng then chốt là một tấm gương. Cách xây dựng chọn một dãy tăng các điểm mốc N₁, N₂, N₃… và một tập các điểm chuyển, nơi màu bị đảo ngược. Chúng được chọn sao cho, dưới mỗi điểm mốc N, một số x và ảnh gương N/x của nó luôn có màu trái ngược. Một tích a × b gần N ghép một số nhỏ với một số lớn gần như là ảnh gương của nó, nên hai thừa số hầu như luôn khác màu. Các ngoại lệ hiếm hoi — những số có một ước nằm trong một khoảng hẹp — được đếm bằng các công cụ của lý thuyết số giải tích, trong đó có sự kiện, được cho là của Euler, rằng tổng nghịch đảo của các số nguyên tố, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …, tăng không giới hạn.

Một cách tô không thể chạm tới

Cách tô này tồn tại, nhưng sẽ không ai thấy được nó vận hành. Các điểm mốc của nó phải được chọn cực lớn, và bài báo tính toán chúng lớn đến mức nào cho mục tiêu ε = 1/10. Điểm mốc đầu tiên phải vượt quá một số nằm giữa exp(exp(96.303,3504)) và exp(exp(96.303,3505)). Kết quả là, nếu số 1 được tô màu đỏ, thì toàn bộ 10^(10^41.823) số đầu tiên đều màu đỏ — một số lượng mà bản thân nó đã có hơn 10^41.823 chữ số. Chỉ ở rất xa sau đó, mẹo tấm gương mới bắt đầu phát huy tác dụng. Sẽ không có máy tính nào kiểm tra được một cách tô như vậy bằng cách đếm.

Một câu trả lời được tìm ra cùng AI

Bài báo nói rõ câu trả lời đã đến như thế nào. Ngày 18 tháng 10 năm 2026, Campbell đưa bài toán trong cuốn sách của Guy cho một mô hình AI, GPT-6 Astra Pro, yêu cầu nó giải. Sau 13 phút 53 giây “suy nghĩ”, mô hình trả lời rằng không tồn tại hằng số như vậy và đề xuất một cách xây dựng. Qua những trao đổi dài, các lần sửa chữa và kiểm tra, tác giả sau đó đã viết ra chứng minh, trong đó một số bước — một dạng phi xác suất của bất đẳng thức Markov, một phép phân tích theo từng trường hợp, một bất đẳng thức về hàm digamma — được ghi nhận là kết quả từ các khảo sát riêng của tác giả. Campbell khẳng định rằng mọi gợi ý của AI đều đã được sửa lại và kiểm chứng độc lập, và nhận hoàn toàn trách nhiệm về phần toán học.

Chứng minh này là một bản tiền ấn phẩm của một tác giả duy nhất và chưa được các nhà toán học khác thẩm định. Bài báo kết thúc bằng những câu hỏi mới: điều gì xảy ra nếu chỉ tô màu các số nguyên tố, và những cách tô nào khiến tỷ lệ tích cùng màu ổn định ở một giá trị cho trước — hoặc không bao giờ ổn định?