ہر گنتی نوں لال جاں نیلا رنگو: اکو رنگ دے حاصل ضرب لگ بھگ غائب ہو سکدے نیں

دو رنگلیاں پنسلاں (crayons) لوو، اک لال تے اک نیلی، تے ہر مثبت پوری گنتی نوں ایہناں وچوں اک نال رنگو۔ ہُن کسے گنتی نوں اکو رنگی حاصل ضرب (same-colour product) آکھو جے اوہنوں دو لال گنتیاں جاں دو نیلیاں گنتیاں دے حاصل ضرب وانگ لکھیا جا سکے — اکو گنتی دو واری لینا جائز اے، ایس لئی 4 = 2 × 2 ہمیشہ گنیا جاندا اے۔

چار وچوں تِن

اک سادہ مثال دسدی اے کہ ایہہ کیویں کم کردا اے۔ طاق گنتیاں نوں لال تے جفت گنتیاں نوں نیلا رنگو۔ 9 تیکر، اکو رنگی حاصل ضرب 1، 3، 5، 7 تے 9 (طاق ضرب طاق)، تے 4 = 2 × 2 تے 8 = 2 × 4 (جفت ضرب جفت) نیں: نَو وچوں ست۔ گنتی 2 رہ جاندی اے، کیونکہ ایہدی اکلی ضربی ونڈ (factorisation)، 1 × 2، رنگ رلا دیندی اے؛ ایہو حال 6 = 1 × 6 = 2 × 3 دا اے۔ عام طور اُتے، n تیکر ایہناں دی تعداد (3n + 1)/4 دا پورا حصہ (whole part) ہوندی اے، ایس لئی ایہناں دا حصہ تِن چوتھائی ول جاندا اے۔ رہ جان والیاں گنتیاں 2، 6، 10، 14… نیں — ہر چار وچوں اک۔

کیہ کوئی ہور چلاک رنگائی کتے بہتر کر سکدی اے؟ پہلاں توں پتہ سی کہ کسے وی پکی (fixed) رنگائی لئی، اکو رنگی حاصل ضرب ہمیشہ گنتیاں دا اک مثبت حصہ بناؤندے نیں۔ اصل سوال، جو ایردوش تے شارکوزی نے 1990 وچ تے فیر 1993 وچ چکیا، تے جو نمبر تھیوری (number theory) دے حل نہ ہوئے مسئلیاں بارے رچرڈ گائی (Richard Guy) دی مشہور کتاب وچ درج اے، ایہہ اے کہ کیہ کوئی سانجھا فرش (universal floor) اے: اک پکا حصہ جیہدے تیکر ہر رنگائی نوں اپڑنا ای پوے۔ الٹ کر کے آکھیے: کسے وی نِکی گنتی ε لئی، کیہ کوئی اجیہی رنگائی اے جیہدے وچ اکو رنگی حاصل ضرب دا حصہ، گھٹ توں گھٹ کجھ ٹوٹیاں اُتے، ε توں تھلے ڈِگ جاندا اے؟ ایہہ مسئلہ ضربی رامزی تھیوری (multiplicative Ramsey theory) دا اے، جو اوہناں نمونیاں (patterns) نوں پڑھدی اے جیہناں توں کوئی رنگائی بچ نہیں سکدی۔

کوئی فرش نہیں

ہیلیفیکس، کینیڈا وچ ڈلہوزی یونیورسٹی دے جان ایم. کیمبل (John M. Campbell) نے ثابت کیتا اے کہ کوئی سانجھا فرش نہیں۔ ہر ε لئی، بھاویں اوہ کِنا وی نِکا ہووے، پوریاں گنتیاں دی اک لال نیلی رنگائی موجود اے جیہدے وچ، کٹ والے نقطیاں (cut-off points) دی اک لامحدود لڑی دے نال نال، اوس نقطے تیکر دیاں گنتیاں دا ε توں گھٹ حصہ اکو رنگی حاصل ضرب ہوندا اے۔

مُکھ خیال اک عکس (mirror) اے۔ بناوٹ کٹ والے نقطیاں N₁, N₂, N₃… دی اک ودھدی لڑی چُندی اے، تے بدلن والے نقطیاں (switch points) دا اک مجموعہ جتھے رنگ پلٹ جاندا اے۔ ایہناں نوں ایس طرح چُنیا جاندا اے کہ ہر کٹ N توں تھلے، اک گنتی x تے اوہدے عکس N/x دے ہمیشہ الٹ رنگ ہون۔ N دے نیڑے اک حاصل ضرب a × b اک نِکی گنتی نوں اک وڈی گنتی نال جوڑدا اے جو لگ بھگ اوہدا عکس اے، ایس لئی دوویں ضربیے (factors) لگ بھگ ہمیشہ وکھرے رنگ دے ہوندے نیں۔ ٹانویں استثنا — اوہ گنتیاں جیہناں دا کوئی بھاجک (divisor) اک تنگ دائرے وچ ہووے — تحلیلی نمبر تھیوری (analytic number theory) دے اوزاراں نال گنے جاندے نیں، جیہناں وچ اوہ حقیقت وی شامل اے، جو آئلر (Euler) دے ناں لائی جاندی اے، کہ مفرد عدداں (primes) دے مقلوباں (reciprocals) دا جوڑ، 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …، بنا کسے حد دے ودھدا جاندا اے۔

اک اپڑ توں باہر رنگائی

رنگائی موجود تے اے، پر کوئی وی اوہنوں کدی کم کردیاں نہیں ویکھے گا۔ ایہدے کٹ بہت وڈے چُننے پیندے نیں، تے پیپر حساب لاؤندا اے کہ ε = 1/10 دے نشانے لئی کِنے وڈے۔ پہلا کٹ اک اجیہی گنتی توں وڈا ہونا چاہیدا اے جو exp(exp(96,303.3504)) تے exp(exp(96,303.3505)) دے وچکار اے۔ نتیجہ ایہہ کہ، جے 1 نوں لال رنگیا جاوے، تے پہلیاں 10^(10^41,823) گنتیاں ساریاں لال نیں — اک تعداد جیہدے اپنے 10^41,823 توں ودھ ہندسے (digits) نیں۔ ایہدے توں کتے اگے جا کے ای عکس والی چال اثر کرنا شروع کردی اے۔ کوئی کمپیوٹر کدی وی گن کے اجیہی رنگائی دی جانچ نہیں کرے گا۔

اک AI نال لبھیا جواب

پیپر کھل کے دسدا اے کہ جواب کیویں آیا۔ 18 اکتوبر 2026 نوں، کیمبل نے گائی دی کتاب والا مسئلہ اک AI ماڈل، GPT-6 Astra Pro، نوں دتا تے اوہنوں ایہہ حل کرن لئی آکھیا۔ 13 منٹ تے 53 سیکنڈ دی «سوچ» توں بعد، ماڈل نے جواب دتا کہ اجیہا کوئی مستقل (constant) موجود نہیں تے اک بناوٹ تجویز کیتی۔ لمیاں گل باتاں، درستیاں تے جانچاں راہیں، فیر لکھاری نے ثبوت لکھیا، جیہدے کئی قدم — مارکوف دی نابرابری (Markov’s inequality) دی اک غیر احتمالی (non-probabilistic) شکل، صورتاں دا اک تجزیہ (case analysis)، ڈائیگاما فنکشن (digamma function) اُتے اک نابرابری — لکھاری دی اپنی کھوج دے کھاتے پائے گئے نیں۔ کیمبل نے دسیا اے کہ AI دی ہر تجویز دی نظرثانی تے آزادانہ تصدیق کیتی گئی، تے ریاضی دی پوری ذمہ واری اپنے سر لئی اے۔

ثبوت اک کلے لکھاری دا پری پرنٹ (preprint) اے تے اجے ہور ریاضی داناں نے ایہدی نظرثانی نہیں کیتی۔ ایہہ نویں سوالاں نال مُکدا اے: جے صرف مفرد عدداں نوں رنگیا جاوے تے کیہ ہوندا اے، تے کیہڑیاں رنگائیاں اکو رنگی حاصل ضرب دے حصے نوں کسے دتی قدر اُتے ٹکا دیندیاں نیں — جاں اوہنوں کدی ٹکن ای نہیں دیندیاں؟